آموزش جامع حل انواع معادله: درجه اول، درجه دوم، رادیکالی، نمایی و لگاریتمی

معادله مبحث مهمی است که در سایر بخش های ریاضی و در فیزیک و شیمی کاربرد دارد. در این مقاله به آموزش حل معادله می پردازیم حل معادله درجه یک، حل معادله رادیکالی، حل معادله گویا ، حل معادله نمایی و حل معادله لگاریتمی از مباحثی است که به طور مفصل در این مقاله آموزش داده شده است. اگر تمایل به یادگیریِ نحوه حل معادله و تمام نکات مربوط به آن دارید لطفا این مقاله را از دست ندهید.

معادله چیست؟ چه زمانی یک عدد جواب معادله است؟

به یک تساوی جبری که به ازای بعضی از اعداد به تساوی عددی تبدیل می شود معادله می گویند. جواب معادله همان اعدادی است که معادله را از تساوی جبری به تساوی عددی تبدیل می کند.

مثلا به $6x+7=1$ معادله می گویند. این معادله به ازای $x=-1$ به تساوی عددی تبدیل می شود، چون $6(-1)+7=-6+7=1$ پس $x=-1$ جواب معادله ی $6x+7=1$ است. اما به ازای $x=1$ این تساوی برقرار نیست $6(1)+7=13 \neq 1$ پس $x=1$ جواب معادله ی $6x+7=1$ نیست.

در ادامه می بینیم که چطور می توان یک معادله را حل کرد.

حقایقی درباره تساوی و حل معادله درجه اول

برای حل کردن یک معادله باید در ابتدا چند حقیقت را درباره ی تساوی بدانیم.

*اگر به دو طرف تساوی یک مقدار مساوی اضافه کنیم تساوی باز هم برقرار است.

مثلا $5=5$ حالا اگر به دو طرف تساوی $3$ را اضافه کنیم در هر دو طرف تساوی $8$ داریم و می دانیم $8=8$

*اگر از دو طرف تساوی یک مقدار مساوی کم کنیم تساوی باز هم برقرار است.

مثلا $5=5$ حالا اگر از دو طرف تساوی $3$ را کم کنیم در هر دو طرف تساوی $2$ داریم و می دانیم $2=2$

*اگر دو طرف تساوی را در یک مقدار مساوی ضرب کنیم تساوی بازهم برقرار است.

مثلا $5=5$ حالا اگر دو طرف تساوی را $3$ برابر کنیم در هر دو طرف تساوی $15$ داریم و می دانیم $15=15$

*اگر دو طرف تساوی را به یک مقدار مساوی غیر صفر تقسیم کنیم (تقسیم کردن هیچ عددی بر صفر معنی ندارد) تساوی باز هم برقرار است.

مثلا $5=5$ حالا اگر دو طرف تساوی را بر $3$ تقسیم کنیم در هر دو طرف تساوی $\frac{5}{3}$ داریم و می دانیم $\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$ .

اگر یک نکته دیگر هم اضافه کنیم دیگر به راحتی می توانیم هر معادله ای را حل کنیم.

نکته: ضریب متغیر، عددی است که در آن ضرب می شود. همان عددی است که در پشت متغیر قرار می گیرد. برای مثال ضریب متغیر در $7a$ عدد $7$ است. ضریب متغیر در $-8x$ عدد $-8$ است. ضریب متغیر در $\frac{-5}{3}y$ برابر $\frac{-5}{3}$ است. ضریب متغیر در $\sqrt{11}b$ عدد $\sqrt{11}$ است.

حالا با توجه به این نکات به راحتی می توانیم هر معادله ای را حل کنیم برای مثال برای حل معادله $6x+7=1$ کافی است بفهمیم $x=?$ پس سعی می کنیم $x$ را در یک سمت تساوی تنها کنیم. برای اینکار از دو طرف تساوی $7$ واحد کم می کنیم در نتیجه تساوی به صورت زیر در می آید:

$6x+7-7=1-7$

$\Rightarrow \,\,\, 6x=-6$

حالا دو طرف تساوی را بر ضریب $x$ تقسیم می کنیم. ضریب متغیر $(x)$ برابر $6$ است بنابراین دو طرف را بر $6$ تقسیم می کنیم. درنتیجه داریم: $x=-1$ . جواب معادله همان $x=-1$ است.

سوال: معادلات زیر را حل کنید.

$4x-7=13$

$\frac{3}{5}x=\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}$

$2x-3x+2(x+2)=14$

جواب:

$4x-7=13$

$\overset{+7}{\rightarrow} \,\,\,4x=20$

$\overset{\div 4}{\rightarrow} \,\,\, x=5$

$\frac{3}{5}=\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}$

$\overset{-\frac{-2}{3}x}{\rightarrow}\,\,\,(\frac{3}{5}-\frac{2}{3})x=-\frac{1}{5}$

$\rightarrow \,\,\,(\frac{9}{15}-\frac{10}{15})x=-\frac{1}{5}$

$\rightarrow \,\,\,\frac{-1}{15}x=\frac{-1}{5}$

$\overset{\div (\frac{-1}{15})}{\rightarrow}\,\,\,x=3$

$2x-3x+2(x+2)=14$

$\rightarrow \,\,\,2x-3x+2x+4=14$

$\rightarrow\,\,\,x+4=14$

$\overset{-4}{\rightarrow}\,\,\,x=10$

چطور معادله درجه دوم را حل کنیم؟

حالا اگر معادله درجه دو باشد یعنی داشته باشیم $ax^{2}+bx+c=0$ که در آن $a$ و $b$ و $c$ اعداد حقیقی هستند و $a\neq 0$ می باشد. ما سه روش برای حل معادله داریم برای آموختن این سه روش و اطلاعاتی درباره ارتباط ریشه های معادله درجه دو به مقاله معادله درجه دوم مراجعه نمایید.

نکته مهم : هر گاه حاصل ضرب چند عبارت جبری صفر شد تک تک آن عبارات جبری صفر هستند.

مثلا اگر داشته باشیم $(5x-1)(-3x^{2}+5x+2)=0$ در واقع باید هر کدام از عبارات $5x-1$ و $-3x^{2}+5x+2$ را باید صفر قرار دهیم در نتیجه طبق آنچه در مقاله معادله درجه دوم می خوانیم داریم:

$-3x^{2}+5x+2=0$

$\rightarrow\,\,\,x=+2 \,\,\,,\,\,\,x=\frac{-1}{3}$

همچنین باید $5x-1$ را هم برابر با صفر قرار دهیم داریم:

$5x-1=0$

$\rightarrow\,\,\,5x=1$

$\rightarrow\,\,\,x=\frac{1}{5}$

در نتیجه جواب $(5x-1)(-3x^{2}+5x+2)=0$ برابر است با

$x=+2\,\,,\,\,\frac{-1}{3}\,\,,\frac{1}{5}$

چطور معادله گویا را حل کنیم؟

برای حل یک معادله گویا می توان دو طرف تساوی را پس از تجزیه کردن مخرج ها، در کوچکترین مضرب مشترک مخرج ها ضرب کرد تا معادله از شکل کسری خارج شود. جواب های به دست آمده نباید مخرج کسرها را صفر کنند و این جواب ها باید در معادله اولیه صدق کنند. برای حل معادله گویا به مقاله عبارت و معادلات گویا مراجعه کنید.

چطور معادله رادیکالی را حل کنیم؟

برخی از معادلات که دارای عبارت های رادیکالی از مجهول هستند را معادلات گنگ می نامند. برای حل آنها با به توان رساندن طرفین معادله و در صورت لزوم تکرار این عمل و ساده کردن به معادله ای بدون رادیکال می رسیم که آن را حل می کنیم. جواب های به دست آمده باید در معادله اصلی آزمایش شوند زیرا عملیات توان رسانی ممکن است جواب های اضافی تولید کند.

نکته: در حل معادلات گنگ می توان با تعیین دامنه تعریف معادله، جوابهای نهایی را با استفاده از آن مورد بررسی قرار داد.

تعیین دامنه عبارت: با تعیین دامنه عبارت ها می توان محدوده مقادیر مجاز را مشخص کرد به ویژه اگر $\sqrt{P(x)}=Q(x)$ دو نتیجه می گیریم:

$P(x) \ge 0\,\,\,,\,\,\, Q(x) \ge 0$

تغییر متغیر: در معادلات گنگ نیز مانند معادلات دو مجذوری تغییر متغیر مناسب در موارد حضور عبارت های یکسان می تواند معادله را بسیار ساده کند.

صفر شدن جمع چند عبارت نامنفی : وقتی جمع چند عبارت نامنفی صفر می شود حتما می شود حتما همه آنها باید صفر باشند.

حل چند مثال از معادله رادیکالی

مثلا برای حل معادله ی $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=4$ باید یکی از رادیکال ها را تنها کنیم و دو طرف تساوی را به توان دو برسانیم.

$\sqrt{x+3}=4-\sqrt{3x+1}$

$\rightarrow\,\,\,x+3=16+3x+1-2\times4\sqrt{3x+1}$

$=17+3x-8\sqrt{3x+1}$

حالا معادله به $x+3=17+3x-8\sqrt{3x+1}$ تبدیل می شود. دوباره عبارت رادیکالی را تنها می کنیم و دو طرف را به توان دو می رسانیم.

$x+3=17+3x-8\sqrt{3x+1}$

$\rightarrow\,\,\,-2x-14=-8\sqrt{3x+1}$

$\rightarrow\,\,\,4x^{2}+56x+196=64(3x+1)$

$\rightarrow 4x^{2}-136x+132=0$

$\rightarrow \,\,\,x^{2}-34x+33=0$

$\rightarrow\,\,\,\Delta=1024\,\,\,\rightarrow\,\,\,x=1\,,\,x=33$

حالا که جواب ها را بدست آوردیم هر دو جواب بدست آمده را در معادله $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=4$ قرار می دهیم.

$x=1: \,\,\sqrt{1+3}+\sqrt{3+1}$

$=2+2=4$

$x=33: \,\,\sqrt{33+3}+\sqrt{99+1}$

$=6+10=16\neq4$

بنابراین فقط $x=1$ را به عنوان جواب قبول می کنیم.

یک مثال دیگر عبارت $\sqrt{x^{2}-9}+\sqrt{x+3}=0$ برای حل این معادله باید به جای حل کامل سوال که مشابه مثال قبل است از نکته ای که پیش تر گفته شد استفاده کنیم. اگر چند عبارت نامنفی با هم جمع شوند و برابر با صفر شوند، حتما هر کدام از آنها صفر اند. در این سوال دو عبارت رادیکالی با فرجه زوج داریم پس دو عبارت نامنفی داریم که هر کدام باید برابر با صفر باشند. داریم:

$\sqrt{x^{2}-9}=0$

$\rightarrow\,\,\,x^{2}-9=0$

$\rightarrow\,\,\, x^{2}=9: \, x=+3 \,,\,x=-3$

$\sqrt{x+3}=0$

$\rightarrow\,\,\,x+3=0$

$\rightarrow\,\,\,x=-3$

که جواب مشترک که برابر $x=-3$ همان جواب معادله است. اگر این دو عبارت را برابر صفر قرار می دادیم و هیچ جواب مشترکی نداشتند می گفتیم که معادله جواب ندارد.

چطور معادله نمایی را حل کنیم؟

معادله ای را که در آن متغیر در توان قرار گرفته باشد، معادله نمایی می نامند. برای حل معادله نمایی از خاصیت یک به یک بودن تابع نمایی استفاده می کنیم . اگر $a \in \Bbb{R}^{+} \,\,,\,\,a\neq 1$ باشد و داشته باشیم $a^{x}=a^{y}$ آنگاه $x=y$ و برعکس.

نکته : اگر دو عدد $a\,\,,\,\,b$ داشته باشیم که $a\,,\,b \neq 1$ و $a \,,\,b \in \Bbb{R}^{+}$ و دو عدد $x\,,\,y \in \Bbb{R}$ هم داشته باشیم می توانیم خواص اعداد توان دار را به صورت زیر بیان کنیم:

$a^{0}=1\,\,,\,\,a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$

$a^{x}.a^{y}=a^{x+y}\,\,,\,\,(a^{x})^{y}=a^{xy}$

$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}\,\,,\,\,(\frac{a}{b})^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$

$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$

چطور معادله لگاریتمی را حل کنیم؟

اگر $a >0\,\,,\,\,a\neq 1$ آنگاه از تساوی $\log_{a}{x}=\log_{a}{y}$ می توان نتیجه گرفت $x=y$ .

اگر $x\,\,,\,\,y >0$ آنگاه از تساوی $x=y$ می توان نتیجه گرفت $\log{a}{x}=\log{a}{y}$

تذکر: بعد از حل معادلات لگاریتمی باید اعداد بدست آمده را آزمایش کرد که آیا در معادله صدق می کنند و در دامنه تابع هستند یا نه.

حل معادلات به روش هندسی

اگر $f(x)$ و $g(x)$ دو تابع باشند، طول نقاط تلاقی نمودارهای این دو تابع جواب های معادله $f(x)=g(x)$ است و برعکس، هر جواب این معادله طول یکی از نقاط تلاقی این دو نمودار است.

این روش حل معادله را، که از طریق آن تعداد جواب ها و مقدار تقریبی (و گاهی دقیق) جواب ها قابل تشخیص است، روش هندسی ( نموداری) حل معادلات می نامیم. که در مقاله نمودار توابع می توانید راجع به این روش مطالعه کنید.

جمع بندی

در این مقاله به آموزش حل معادله درجه اول ، معادله درجه دوم ، معادلات گویا ، معادلات رادیکالی ، معادلات نمایی و معادلات لگاریتمی پرداختیم. هر چند هر کدام از این معادلات گویا و معادله درجه دوم در مقاله مربوط به خودشان به طور کامل آموزش داده شده اند. در مقاله ی حاضر روش هندسی حل معادلات نیز معرفی شده که به طور مفصل در مقاله ی رسم نمودار توابع در مورد آن توضیح داده شده است. امیدوارم از آموزش جامعی که در مورد معادله و انواع آن و روش حل هر نوع از معادله بیان شده است لذت کافی را برده باشید. اگر تمایل دارید که به صورت جامع و بهمراه نمونه سوالات کنکور و نهایی در سالهای مختلف این مطالب را بیاموزید دوره جبر معادله تابع فرامث را تهیه کنید. لطفا نظرات خود را در قسمت کامنت ها در مورد مقاله حل معادله بیان کنید.

آموزش جامع حل انواع معادله: درجه اول، درجه دوم، رادیکالی، نمایی و لگاریتمی

معادله چیست؟ چه زمانی یک عدد جواب معادله است؟

حقایقی درباره تساوی و حل معادله درجه اول

چطور معادله درجه دوم را حل کنیم؟

چطور معادله گویا را حل کنیم؟

چطور معادله رادیکالی را حل کنیم؟

چطور معادله نمایی را حل کنیم؟

چطور معادله لگاریتمی را حل کنیم؟

حل معادلات به روش هندسی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر