همه چیز درباره ی پیوستگی تابع در نقطه، در بازه و تعریف تابع پیوسته

تابعی پیوسته است که در تمام نقاط ورودی شامل اعداد حقیقی، پیوسته باشد. به این معنا که اگر بخواهیم نمودار تابع را رسم کنیم اصلا قلم را از روی کاغذ برنداریم. تابع پیوسته با پیوستگی تابع متفاوت است. پیوستگی تابع برای یک نقطه یا بازه مشابه آنچه در بالاتر آموزش دیدیم تعریف می شود اما وقتی می گوییم یک تابع پیوسته است به این معناست که تابع در همه ی نقاط حقیقی پیوسته است.

• توابعی مانند سینوس و کسینوس که توابعی مثلثاتی هستند توابعی پیوسته اند. اما تابع تانژانت و کتانژانت توابعی ناپیوسته اند. یعنی برای اینکه نمودار آنها را رسم کنیم باید در برخی نقاط که به ترتیب کسینوس و سینوس را صفر می کنند قلم را از روی کاغذ برداریم.

• به طور کلی در توابع گویا به ازای مقادیری که مخرج کسر گویا را صفر می کنند تابع ناپیوسته است. از تعریفی که از توابع ناپیوسته یاد گرفتیم می دانیم که اگر یک نقطه در دامنه تابع نباشد آنگاه تابع در آن نقطه ناپیوسته است. بنابراین توابع گویا در ریشه مخرج ناپیوسته اند.

• می توان گفت توابع گویا تنها در صورتی توابعی پیوسته اند که مخرج آنها ریشه حقیقی نداشته باشد.

• تابع جزصحیح (نمونه ای توابع پلکانی )   یک تابع ناپیوسته است.

• تابع قدرمطلق  یک تابع پیوسته است.

در حالت کلی برای اینکه بگوییم یک تابع پیوسته است باید بتوانیم پیوستگی آن تابع را در هر نقطه دلخواه تضمین کنیم.

نمودار های زیر توابعی را نشان می دهند که در دامنه شان پیوسته اند: