همه چیز درباره ی روش های استدلال و اثبات در ریاضی

استدلال به معنی دلیل آوردن است. در این مقاله به بیان استدلال و انواع آن پرداختیم. استدلال استقرایی و استنتاجی را بیان کردیم. در مورد عکس قضیه صحبت کردیم. به گزاره ها و انواع آن اشاره کردیم. برهان خلق و مثال نقض را تعریف کردیم. اگر اطلاعات جامع از استدلال در ریاضی می خواهید این مقاله مناسب شماست.

تعریف استدلال

استدلال یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته های قبلی، برای معلوم کردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است.

هرچند به طور معمول در ریاضیات و به ویژه در هندسه استفاده از شکل، ترسیم و شهود به تشخیص راه حل ها و ارائه ی حدس های درست کمک زیادی می کند، اما به تشخیصی که براساس این روشها حاصل می گردد، نمی توانیم به طور کامل اطمینان کنیم.

دیدن و استفاده از حواس یا ارائه مثال های متعدد و همچنین توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی کند و باید از دلیل های منطقی و قانع کننده کمک گرفت و با استدلال، درستی آن موضوع را ثابت کرد. در روند استدلالمان از ِ اطلاعات مسئله (فرض یا داده ها) و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است، ٔبرای رسیدن به خواسته مسئله (حکم) استفاده می کنیم.

وقـتی خاصیتی را بـرای یک عضو از یک مجموعه ثـابت کردیـم، اگر تمام ویژگی هایی که در استدلال خود به کار برده ایم، در سایر عضوهای آن مجموعه نیز باشد، می توان درستی نتیجه را به همه عضوهای آن مجموعه تعمیم داد.

انواع استدلال

استدلال استقرایی: در این استدلال از جز به کل می رسند یعنی از مشاهدات و بررسی موضوعی در چند حالت نتیجه ای کلی گرفته می شود. با چنین استدلالی نمی توان نتیجه درستی گرفت.

استدلال استنتاجی: براساس نتیجه گیری منطقی بر پایه واقعیت های است که درستی آنها را پذیرفته ایم و به آن استدلال استنتاجی گفته می شود.

عکس یک قضیه

اگر فرض و حکم یک قضیه را جابجا کنیم، آنچه حاصل می شود، عکس قضیه است عکس یک قضیه می تواند درست یا غلط باشد.

گوشه چشمی به گزاره

گزاره یک جمله خبری است که دقیقا درست یا نادرست باشد اگرچه درست یا نادرست بودن آن بر ما معلوم نباشد. گزاره می تواند تنها یک خبر را اعلام کند که به آن گزاره ساده می گویند و می تواند بیش از یک خبر را اعلام کند و ترکیبی از چند گزاره ساده باشد که به آن گزاره مرکب می گویند.

نقیض یک گزاره: همانطورکه گفته شد، ارزش یک گزاره یا درست است و یا نادرست. نقیض یک گزاره می تواند با اضافه کردن عبارت ” چنین نیست که ” در ابتدای آن گزاره ساخته شود. ارزش نقیض یک گزاره دقیقا مخالف آن گزاره است.

گزاره شرطی: در گزاره شرطی به جای اینکه درباره چیزی خبری قطعی داده شود خبری که اعلام می شود با یک شرط بیان می شود . با عبارت ” اگر —-آنگاه —–“

قضیه های دو شرطی : اگر یک قضیه و عکس آن هر دو درست باشد به آن قضیه دو شرطی می گویند قضیه دو شرطی را می توان با نماد $\Leftrightarrow$ ( می خوانیم ” اگر و تنها اگر” ) بیان کرد.

برای دانستن اطلاعات بیشتر در مورد گزاره ها به مقاله مربوطه مراجعه کنید.

استدلال قیاس استثنایی

قیاس استثنایی ی نوع استدلال است که از گزاره شرطی نشات می گیرد به این ترتیب که دو مقدمه دارد و یک نتیجه که مقدمه اول یک گزاره شرطی است و مقدمه دوم مقدم همان گزاره شرطی است و نتیجه تالی آن گزاره شرطی است.

مثلا : مقدمه 1: اگر باران ببارد زمین خیس می شود. مقدمه 2: باران باریده. نتیجه : زمین خیس شده.

اگر در این استدلال جای مقدمه دوم و نتیجه را عوض کنیم مغالطه کرده این و روش استدلال نادرست است در واقع اگر مقدمه اول یک گزاره شرطی باشد و مقدمه دوم تالی آن گزاره شرطی باشد و نتیجه مقدم آن گزاره شرطی باشد آنگاه مغالطه کرده ایم و با اینکه ممکن است حرف مان درست باشد اما چون روش استدلال غلط است حرف مان قابل پذیرش نیست.

مثلا : مقدمه 1: اگر باران ببارد زمین خیس می شود. مقدمه 2: زمین خیس شده. نتیجه : باران باریده.

استدلال اثبات مستقیم

در بسیاری از مسائل ریاضی می بینیم که می توانیم به طور کلی یک موضوع را ثابت کنیم در ادامه چند مورد را می بینید:

مثال : مجموع سه عدد متوالی بر 3 بخش پذیر است؟ بله چون :

$(a-1)+(a)+(a+1)=3a$

مثال : مجموع هر دو عدد فرد ، عددی زوج است ؟ بله چون

$(2a+1)+(2b+1)=$

$2a+2b+2=$

$2(a+b+1)=2k$

مثال : مجموع هر دو عدد گویا عددی است گویا ؟

اگر $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ دو عدد گویا باشند می توان گفت $b,d \neq 0 \,\,,\,\,a,b,c,d \in \Bbb{Z}$ حالا اگر جمع این دو عدد گویا را محاسبه کنیم داریم:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

که می توان گفت $bd\neq 0\,\,,\,\,ad+bc \in \Bbb{Z}$ بنابراین حاصل جمع دو عدد گویا خود عددی است گویا.

مثال : اگر $k$ حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آنگاه $4k+1$ مربع کامل است؟ بله چون:

$k=a(a+1)$

$\rightarrow 4k+1=4a(a+1)+1$

$=4a^{2}+4a+1=(2a+1)^{2}$

در این مثال ها ما از استدلال ” اثبات مستقیم ” استفاده کردیم تا به اثبات گزاره گفته شده بپردازیم.

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت ها

در برخی مسائل نمی توان برای حالت کلی و روش مستقیم اثبات را انجام داد در این صورت کل حالات را به چند حالت افراز می کنیم و بعد برای هر دسته از حالات اثبات مستقیم را انجام می دهیم. به این ترتیب در نهایت اثبات برای همه حالات انجام می شود.

مثال : ثابت کنید برای هر $n \in \Bbb{N}$ عدد ِ $n^{2}-5n+7$ عددی فرد است ؟

حالت اول: $n$ زوج است پس می توان گفت $n=2k$ بنابراین می توان نوشت :

$n^{2}-5n+7$

$=(2k)^{2}-10k+7$

$=4k^{2}-10k+7$

$=(4k^{2}-10k+6)+1$

$=2(2k^{2}-5k+3)+1$

حالت دوم: $n$ فرد است پس می توان گفت $n=2k+1$ بنابراین می توان نوشت :

$n^{2}-5n+7=$

$(2k+1)^{2}-5(2k+1)+7=$

$4k^{2}+4k+1-10k-5+7$

$=4k^{2}-10k+3=$

$2(2k^{2}-3k+1)+1$

اگر زوج بودن $n$ را با $p$ و فرد بودن $n$ را با $q$ و فرد بودن $n^{2}-5n+7$ رابا $r$ نشان دهیم. حکم را می توان به صورت گزاره $p \lor q \rightarrow r$ نشان دهیم آنگاه می توان از هم ارزی زیر هم برای اثبات استفاده کرد.

$(p \lor q) \Rightarrow r \equiv (p \Rightarrow r) \land ( q \Rightarrow r)$

به طور مشابه برای هر تعداد متناهی گزاره دلخواه داریم :

$P_{1} \lor P_{2} \lor …\lor P_{n} \Rightarrow r \equiv$

$(P_{1} \Rightarrow r)\land (P_{2} \Rightarrow r ) \land ….\land (P_{n} \Rightarrow r )$

مثال : اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $ab=0$ آنگاه $a=0$ یا $b=0$ ؟

حالت اول $a=0$ در نتیجه $ab=0$

حالت دوم: $a \neq 0$ در نتیجه می توان $\frac{1}{a}$ را در دو طرف تساوی $ab=0$ ضرب کرد در نتیجه بدست می آید : $b=0$ . پس حکم برقرار است.

در این مثال ها از اثبات با در نظر گرفتن همه حالت ها استفاده کردیم تا اثبات کنیم گزاره بیان شده صحیح است.

اثبات های بازگشتی / گزاره های هم ارز

اگر ارزش دو گزاره یکسان باشند یعنی هر دو درست یا هر دو نادرست باشد به آنها گزاره های هم ارز می گویند.

اگر دو گزاره $P$ و $Q$ هم ارز باشند آنگاه گزاره های $P \Rightarrow Q$ و $Q \Rightarrow P$ هر دو درست هستند. در نتیجه $P \Leftrightarrow Q$ یک گزاره درست است.

اگر ترکیب دو شرطی $P \Leftrightarrow Q$ درست است آنگاه دو گزاره $P$ و $Q$ هم ارز هستند.

اگر $P$ و $Q$ و $R$ سه گزاره باشند و $P \Leftrightarrow Q$ و $Q \Leftrightarrow P$ درست باشند بنابراین هر سه گزاره ارزش یکسان دارند. و اثبات درستی و نادرستی هر کدام درستی و نادرستی دو تای دیگر را نتیجه می دهد.

اثبات غیرمستقیم به روش برهان خلف

در روش برهان خلف فرض می کنیم که حکم نادرست باشد و سپس با استفاده از قوانین منطق گزاره ها و دنباله ای از استدلال های درست و مبتنی بر فرض به یک نتیجه غیرممکن یا نتیجه متضاد با فرض می رسیم و از آنجا با توجه به منطقی بودن همه مراحل معلوم می ِشود که فرض ِ نادرست بودن حکم باطل است و درستی حکم ثابت می گردد.

آوردن مثال نقض برای اثبات نادرستی

برای اینکه بگوییم یک گزاره غلط است کافی است که یک مثال نقض بیان کنیم.

مثال نقض : به مثالی که نشان دهد یک حکم کلی نادرست است مثال نقض می گویند.

توجه: اگر برای یک حکم کلی نتوانیم مثال نقض پیدا کنیم به معنای درستی آن حکم نیست.

مثال : عدد $2^{2^{n}}+1$ به ازای همه ی $n$ های طبیعی، عدد اول است؟ خیر چون به ازای $n=5$ این عبارت به صورت $2^{2^{5}}+1=4294967297=641\times 6700417$ بدست می آید که چون به صورت حاصل ضرب دو عدد بزرگتر از یک نوشته شده پس این عدد اول نیست و مرکب است.

مثال : برای هر دو عدد حقیقی $x$ و $y$ داریم : $\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ؟

خیر چون به ازای $x=1\,\,,\,\,y=9$ داریم $\sqrt{x}=1$ و $\sqrt{y}=3$ در نتیجه $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1+3=4$ و می دانیم $\sqrt{16}=4$ اما $\sqrt{x+y}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\neq \sqrt{16}$ بنابراین این گزاره غلط است.

مثال : برای هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 عدد $2^{n}-1$ یک عدد اول است ؟

خیر چون به ازای $n=4$ این عبارت به صورت $2^{4}-1=15$ بدست می آید که می دانیم $15=5 \times 3$ که در نتیجه $2^{n}-1$ به طور کلی نشان دهنده اعداد اول نیست و گزاره غلط است.

مثال : اگر برای سه مجموعه $A,B,C$ داشته باشیم : $A \cup B = A \cup C$ آنگاه $B=C$ ؟

خیر چون اگر $A=\{1,2,3\}\,,\,B=\{1,4\}\,,\,C=\{2,4\}$ آنگاه $A \cup B = A \cup C=\{1,2,3,4\}$ ولی $B \neq C$ .

در این مثال ها ما از ” مثال نقض ” استفاده کردیم تا اثبات کنیم گزاره بیان شده غلط است.

جمع بندی

در این مقاله به بیان انواع استدلال پرداختیم همچنین به بیان چند نوع استدلال خاص مانند برهان خلف و مثال نقض پرداختیم. در این مقاله اشاره ای به گزاره ها کردیم. برای یادگیری بیشتر در مورد گزاره ها به مقاله مربوطه مراجعه کنید. لطفا نظرات خود را در مورد مقاله استدلال ریاضی در قسمت کامنت ها بیان کنید.

همه چیز درباره ی روش های استدلال و اثبات در ریاضی

تعریف استدلال

انواع استدلال

عکس یک قضیه

گوشه چشمی به گزاره

استدلال قیاس استثنایی

استدلال اثبات مستقیم

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت ها

اثبات های بازگشتی / گزاره های هم ارز

اثبات غیرمستقیم به روش برهان خلف

آوردن مثال نقض برای اثبات نادرستی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر