کامل ترین آموزش درباره ی همنهشتی اعداد صحیح و عاد کردن

همنهشتی دو عدد صحیح به پیمانه ی یک عدد طبیعی به این معناست که آن دو عدد صحیح باقی مانده یکسانی بر آن عدد طبیعی دارند. در این مقاله به تعریف کامل همنهشتی اعداد صحیح می پردازیم و ویژگی های همنهشتی را بیان می کنیم همچنین معادله های همنهشتی را معرفی کرده و شرایط داشتن جواب را بیان کردیم در ضمن به حل معادله سیاله و کاربردهای آن پرداختیم در بحث را با تعریف بخش پذیری در اعداد صحیح ادامه دادیم. در بخش بعدی ویژگی های عاد کردن را بیان کرده و به بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک که در مقاله ی اعداد اول درباره ی آنها آموختیم از زاویه ای دیگر نگاه کردیم و در آخر مقاله را با افراز مجموعه اعداد صحیح به کمک قضیه تقسیم به پایان رساندیم. امیدواریم از خواندن این مقاله جامع درباره همنهشتی و عاد کردن در اعداد صحیح لذت ببرید.

همنهشتی در اعداد صحیح

تعریف: برای هر عدد طبیعی مانند $m$ و هر دو عدد صحیح مانند $a$ و $b$ اگر $m|a-b$ می گوییم ” $a$ هم نهشت با $b$ است به سنج یا به پیمانه ی $m$ ” و می نویسیم $a \overset {m}{\equiv} b$ تعریف رابطه هم نهشتی به پیمانه ی $m$ به زبان ریاضی عبارت است از :

$\forall a,b \in \Bbb{Z} \,,\,\,\,a \overset{m}{\equiv} b \,\,\,\Leftrightarrow \,\,m |a-b \,\,\,( m \in \Bbb{N})$

قرارداد: مجموعه همه اعداد صحیحی را که باقی مانده تقسیم آنها بر عدد طبیعی $m$ مساوی با عدد $r$ باشد با نماد $[r]_{m}$ نشان می دهیم. و کلاس یا دسته هم نهشتی $r$ به پیمانه ی $m$ می نامیم.

ویژگی های همنهشتی

ویژگی های همنهشتی را در ادامه می بینید:

ویژگی 1: به دو طرف رابطه هم نهشتی می توان عددی صحیح اضافه یا کم کرد.

$a \overset{m}{\equiv} b\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\begin{cases} a+c \overset{m}{\equiv} b+c \\ a-c\overset{m}{\equiv} b-c \end{cases}$

ویژگی 2: دو طرف یک رابطه هم نهشتی را می توان در عددی صحیح ضرب کرد.

$a \overset{m}{\equiv} b \,\,\,\Rightarrow \,\,\, ac \overset{m}{\equiv}bc$

ویژگی 3: دو طرف یک رابطه هم نهشتی را می توان به توان $n$ رساند. ( $n \in \Bbb{N}$ )

$a \overset{m}{\equiv}b \,\,\, \Rightarrow \,\,\, a^{n} \overset{m}{\equiv}b^{n}$

ویژگی 4: دو طرف رابطه هم نهشتی را که پیمانه های یکسان داشته باشند می توان با هم جمع یا از هم منها و یا در هم ضرب کرد.

$a \overset{m}{\equiv}b\,\,,\,\, c\overset{m}{\equiv}d \,\,\Rightarrow \,\,\begin{cases} ac \overset{m}{\equiv}bd \\ a+c \overset{m}{\equiv}b+d \\ a-c \overset{m}{\equiv} b-d \end{cases}$

ویژگی 5: اگر دو عدد با هم همنهشت باشند و یکی از این دو عدد با عدد سومی به همان پیمانه همنهشت باشند آنگاه عدد سوم با عدد دیگر نیز همنهشت است البته در همان پیمانه.

$a \overset{m}{\equiv} b \,\,\,,\,\,\, b \overset{m}{\equiv}c \,\,\,\Rightarrow \,\,\,a \overset{m}{\equiv} c$

تذکر: اگر باقی مانده تقسیم $a$ بر $m$ مساوی با $r$ باشد در این صورت $a\overset{m}{\equiv} r$

$a=mq+r \,\,\,\Rightarrow \,\,\, a \overset{m}{\equiv} r$

نتیجه 1: هرگاه بخواهیم کوچکترین عدد نامنفی و هم نهشت با عدد $a$ به پیمانه $m$ را مشخص کنیم کافی است عدد $a$ را بر عدد $m$ تقسیم کرده و باقی مانده را بدست آوریم.

نتیجه 2: اگر دو عدد $a$ و $b$ تقسیم بر عدد طبیعی $m$ هم باقی مانده باشند در این صورت $a \overset{m}{\equiv} b$

ویژگی 6: می توان به دو طرف یا یک طرف یک رابطه هم نهشتی هر مضربی از پیمانه را اضافه یا از آن کم کرد.

$a \overset{m}{\equiv} b \,\,\Rightarrow \,\,\begin{cases} a+mt \overset{m}{\equiv}b+mk \\ a-mt \overset{m}{\equiv} b-mk \end{cases}$

ویژگی 7: اگر بخواهیم دو طرف یک رابطه هم نهشتی را بر عددی تقسیم کنیم باید پیمانه آن هم نهشتی را بر ب م م آن عدد و پیمانه تقسیم کنیم

$ac \overset{m}{\equiv} bc\,\,,\,\,(c,m)=d\,\,\Rightarrow \,\,a\overset{m}{\equiv} b$

اگر $ac\overset{m}{\equiv}bc$ و $(c,m)=1$ در این صورت $a\overset{m}{\equiv}b$ در واقع حذف در هم نهشتی ها برای هر عدد که نسبت به پیمانه اول باشد برقرار است.

معادله همنهشتی

تعریف : یک رابطه هم نهشتی همراه با مجهولی چون $x$ به فرم $ax \overset{m}{\equiv} b$ را یک معادله هم نهشتی می نامیم و منظور از حل معادله هم نهشتی پیدا کردن همه ی جواب هایی چون $x_{0} \in \Bbb{Z}$ است که در این معادله صدق کنند ، یعنی:

$ax_{0}\overset{m}{\equiv}b \,\,,\,\,a,b\in \Bbb{Z}$

قضیه : معادله هم نهشتی $ax \overset{m}{\equiv} b$ دارای جواب است اگر و فقط اگر $(a,m)|b$ .

نتیجه : اگر $(a,m)=1$ پس معادله $ax\overset{m}{\equiv}b$ همواره جواب دارد.

حل معادله سیاله و کاربردهای آن

تعریف : هرگاه بخواهیم جواب های معادله $ax+by=c$ یعنی $x$ و $y$ را در اعداد صحیح بیابیم و $a,b,c \in \Bbb{Z}$ در این صورت معادله مذکور را یک معادله سیاله درجه اول یا خطی می نامیم.

تبدیل یک معادله سیاله به معادله هم نهشتی

معادله سیاله $ax+by=c$ دارای دو مجهول است و به دو صورت می تواند به یک معادله هم نهشتی (مجهول $x$ یا $y$ ) تبدیل شود.

$ax\overset{|b|}{\equiv}c\,\,\,,\,\,\,by\overset{|a|}{\equiv}c$

تذکر : شرط لازم و کافی برای آنکه معادله سیاله $ax+by=c$ دارای جواب باشد آن است که $(a,b)|c$

بخش پذیری در اعداد صحیح

قرار دادن تعدادی شی در دسته های مساوی یا دسته بندی کردن تعدادی از چیزها را بدون اینکه باقی مانده ای داشته باشیم عاد کردن یا شمارش اشیا توسط شمارنده ها می گویند.

مثلا 12 شی را می توان با شمارنده های مثبت عدد 12 یعنی $1,2,3,4,6,12$ دسته بندی یا شمارش کرد. برای نمایش این مفهوم از علامت $|$ استفاده می کنیم. مثلا $2|12$ می خوانیم عدد 2 عدد 12 را عاد می کند یا می شمارد. که مفهوم آن این است که عدد 12 بر 2 بخش پذیر است.

هر عدد بر خودش و عدد یک همواره بخش پذیر است.

$a|a\,\,\,\,,\,\,\,\,1|a$

نکته : عدد صحیح $a$ ، که مخالف صفر است شمارنده $b$ است یا $a$ ، $b$ را می شمارد یا $b$ بر $a$ بخش پذیر است یا $a|b$ یا هر گاه عددی صحیح چون $q$ وجود داشته باشد به طوری که $b=aq$ .

اگر عدد $b$ بر عدد $a$ بخش پذیر نباشد یا عدد $a$ عدد $b$ را عاد نکند می نویسیم $a \nmid b$ .

قرارداد: صفر صفر را می شمارد. یعنی $0|0$

ویژگی های عاد کردن

ویژگی 1 : اگر عدد $a$ عدد $b$ را بشمارد آنگاه هر مضرب صحیح عدد $b$ را نیز می شمارد یعنی

$a|b \,\,\,\Rightarrow \,\,\, a|mb\,\,\,,\,\,\,a|b\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a|b^{n}$

ویژگی 2: اگر عدد $a$ عدد $b$ را بشمارد و عدد $b$ عدد $c$ را بشمارد آنگاه عدد $a$ عدد $c$ را می شمارد. یعنی :

$a|b \,\,\land \,\,b|c \,\,\,\Rightarrow \,\,\,a|c$

این خاصیت را خاصیت تعدی برای رابطه ی عاد کردن می نامیم.

ویژگی 3: هرگاه عددی دو عدد را بشمارد آنگاه مجموع و تفاضل آن دو عدد را نیز می شمارد. یعنی :

$a|b \,\,\land \,\,a|c \,\,\Rightarrow \,\,\,a|b\pm c$

ویژگی 4: اگر $a|b$ و $b \neq 0$ در این صورت $|a| \le |b|$ .

سایر ویژگی ها :

$a|b \,\,\land \,\,c|d\,\, \Rightarrow \,\,\,ac|bd$

$a|b \,\,\,\Rightarrow \,\,\, a^{n} |b^{n}$

$a|b\,\,\land \,\,a|c\,\,\Rightarrow \,\,\,a|mb\pm nc$

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک دو عدد

تعریف: عدد طبیعی $d$ را ب م م دو عدد صحیح $a$ و $b$ می نامیم ( $a$ و $b$ هر دو با هم صفر نیستند) و می نویسیم $(a,b)=d$ هرگاه دو شرط زیر برقرار باشند:

$d|a\,\,,\,\,d|b$

$\forall m >0\,\,m|a \,,\,m|b\,\,\,\Rightarrow\,\, m \le d$

تعریف: عدد طبیعی $c$ را ب م م دو عدد صحیح $a$ و $b$ می نامیم ( $a$ و $b$ صفر نیستند) و می نویسیم $[a,b]=c$ هرگاه دو شرط زیر برقرار باشند:

$a|c \,\,,\,\,b|c$

$\forall m >0 \,\,a|m\,,\,b|m\,\,\Rightarrow \,\,c \le m$

قضیه تقسیم: اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد در این صورت اعدادی صحیح و منحصربفرد مانند $q$ و $r$ یافت می شود که

$0 \le r \le b \,\,,\,\,a=bq+r$

افراز مجموعه اعداد صحیح به کمک قضیه تقسیم

با توجه به قضیه تقسیم می دانیم اگر $a$ عددی صحیح و دلخواه باشد با تقسیم آن بر عدد طبیعی $b$ و با توجه به اینکه باقی مانده تقسیم یعنی $r$ در رابطه $0 \le r < b$ صدق می کند، برای $a$ برحسب $r$ دقیقا $b$ حالت وجود دارد. مثلا در تقسیم عدد صحیح دلخواه بر 10 دقیقا ده حالت رخ می دهد و ده افراز از اعداد صحیح خواهیم داشت براساس باقی مانده شان در تقسیم بر ده .

جمع بندی

در این مقاله به آموزش همنهشتی اعداد صحیح ویژگی های همنهشتی و معادله همنهشتی پرداختیم همچنین در بحث تقسیم پذیری اعداد صحیح وارد شدیم و عاد کردن و ویژگی های آن، بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوجکترین مضرب مشترک دو عدد و در نهایت افراز مجموعه اعداد صحیح به کمک قضیه تقسیم را بیان کردیم و مقاله به این ترتیب به پایان رسید. ما را از نظرات خود درباره ی مقاله ی همنهشتی و عاد کردن در اعداد صحیح در قسمت کامنت ها بهره مند کنید.

کامل ترین آموزش درباره ی همنهشتی اعداد صحیح و عاد کردن

همنهشتی در اعداد صحیح

ویژگی های همنهشتی

معادله همنهشتی

حل معادله سیاله و کاربردهای آن

بخش پذیری در اعداد صحیح

ویژگی های عاد کردن

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک دو عدد

افراز مجموعه اعداد صحیح به کمک قضیه تقسیم

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر