همه چیز درباره ی اعداد اعشاری

اعداد اعشاری در زبان انگلیسی $decimal-number$ نام دارند. در این مقاله قصد داریم به معرفی اعداد اعشاری و آموزش دادن نمایش اعداد اعشاری، جمع و تفریق اعداد اعشاری، ضرب و تقسیم اعداد اعشاری، تبدیل اعداد اعشاری به کسر، انواع اعداد اعشاری، مقایسه اعداد اعشاری و مرتب کردن اعداد اعشاری از کوچک به بزرگ بپردازیم.

اعداد اعشاری چه اعدادی هستند؟

به اعدادی که در آن ها علامت $/$ یا $.$ دیده می شود اعداد اعشاری می گویند. این علامت، ممیز یا اعشار نام دارد. اعداد اعشاری برای نمایش اعدادی که بین دو عدد صحیح قرار دارند استفاده می شوند. اعداد اعشاری زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی هستند که بعضی از آنها را می توان به صورت اعداد گویا (کسری) نمایش داد.

در اعداد اعشاری ارقامی که سمت چپ علامت اعشار هستند قسمت صحیحِ عدد اعشاری و ارقامی که سمت راست علامت اعشار هستند قسمت اعشاری ِ عدد اعشاری هستند. مثلا در عدد اعشاری $6.15$ عدد $6$ که سمت چپ علامت اعشار است قسمت صحیح این عدد است و $15$ که در سمت راست علامت اعشار است قسمت اعشاری این عدد است.

خواندن و نوشتن اعداد اعشاری و ارزش های مکانی

برای خواندن عدد اعشاری $A.B$ باید بگوییم ” $A$ عدد صحیح و $B$ “. برای هر رقم از یک عدد اعشاری یک ارزش مکانی وجود دارد. برای اینکه بهتر متوجه شوید ارزش مکانی هر یک از ارقام را در عدد اعشاری ِ $9876.054321$ معرفی می کنیم: رقمِ 9 ارزش مکانی ” یکان هزار ” ، رقم 8 ارزش مکانی ” صدگان” ، رقم 7 ارزش مکانی ” دهگان” ، رقم 6 ارزش مکانی ” یکان” ، رقم صفر ارزش مکانی “دهم” ، رقم 5 ارزش مکانی ” صدم” ، رقم 4 ارزش مکانی “هزارم” ، رقم 3 ارزش مکانی ” ده هزارم” ، رقم 2 ارزش مکانی ” صد هزارم ” و رقم یک ارزش مکانی ِ” یک میلیونیم” را دارند.

به عنوان مثال عدد $3.61$ را ” سه ممیز شصت و یک ” یا ” سه عدد صحیح و شصت و یک” یا به طور کامل تر ” سه عدد صحیح و شصت و یک صدم” می توان خواند.

نکته مهم : در اعداد اعشاری اگر بعد از اعشار صفر بیاید و بعد از صفر ، رقم غیر صفری نیاید با وجود بیشمار رقم صفر، عدد تغییر نمی کند. لذا

$1.2=1.20=1.200=1.2000000000$

گسترده نویسی اعداد اعشاری

برای گسترده نویسی یک عدد اعشاری باید آن عدد را به صورت حاصل جمع اعداد اعشاری ای که فقط در یکی از ارزش های مکانی شان رقم غیر صفر وجود دارد نوشت.

در ادامه به نمونه سوالات با جواب گسترده نویسی اعداد اعشاری توجه کنید.مثلا در عدد اعشاری $31.28$ می بینیم رقم 3 در ارزش مکانی دهگان قرار دارد، رقم 1 در ارزش مکانی یکان، رقم 2 در ارزش مکانی دهم و رقم 8 در ارزش مکانی صدم. بنابراین می توانیم هر رقم را با توجه به ارزش مکانی اش به صورت $30$ و $1$ و $0.2$ و $0.08$ بخوانیم و بنویسیم پس می توان عدد $31.28$ را به صورت $30+1+0.2+0.08$ نوشت. در نهایت می توانیم بنویسیم:

$31.28=30+1+0.2+0.08$

لطفا در بخش کامنت ها نظر تون رو راجع به گسترده نویسی عدد اعشاری $207.09801$ بنویسید و توضیح دهید که اشتباه این تساوی $207.09801=200+70+0.09+0.008+0.0001$ در چیست؟

دسته بندی انواع اعداد اعشاری

اعداد اعشاری دو حالت دارند یا نظم خاصی در ارقام پس از اعشارشان وجود دارد یا بدون هیچ نظمی این ارقام ادامه دارند. مثلا در عدد اعشاری $2.3654…$ یا در عدد اعشاری $2.101001000…$ ارقام پس از اعشار مشخص نیستند و تا بینهایت ادامه دارند. هیچ عدد گویایی معادل با این دسته از اعداد اعشاری وجود ندارد. به این دسته از اعداد اعشاری اعداد گنگ می گویند که در مقاله مربوط به اعداد گنگ می توانید در مورد آن ها بخوانید. اعداد اعشاری با قسمت اعشاری منظم خود سه حالت دارند که هر سه حالت معادلِ گویا یا کسری دارند.

انواع اعداد اعشاری با توجه به ارقام پس از اعشار

نوع اول: ارقام پس از اعشار آنها محدود باشد (تعداد متناهی داشته باشد). مثلا $1.2$

نوع دوم: ارقام پس از اعشار مرتب و متناوبا تکرار شود.

مثال: $1.2222222….=1.\bar{2}$

نوع سوم: چند رقم پس از اعشار وجود داشته باشد و بعد از آن چند رقم به صورت تکراری متناوب شود.

مثال: $23.65888888….=23.56\bar{8}$

انواع اعداد اعشاری با توجه به مخرج کسر معادل با آنها

اعداد اعشاری بعد از تبدیل به کسر و ساده کردن آن کسر، با توجه به اینکه مخرج آنها مضرب چه اعداد اولی است به سه دسته تقسیم می شوند:

دسته اول: اگر مخرج آنها فقط شامل مضاربی از 2 و 5 باشند به آنها کسر مختوم می گویند. این کسرها معادل اعداد اعشاری نوع اول هستند. مثل : $\frac{17}{4000}$

دسته دوم: اگر مخرج کسر شامل هر عدد اولی غیر از 2 و 5 باشد به آن کسر متناوب ساده می گویند. این کسرها معادل اعداد اعشاری نوع دوم هستند. مثل: $\frac{3}{49}$

دسته سوم: اگر مخرج کسر هم شامل 2 یا 5 باشد و هم اعداد غیر از 2 و 5 به آن کسر متناوب مرکب می گویند. این کسرها معادل اعداد اعشاری نوع سوم هستند.مثل: $\frac{7}{15}$

چطور اعداد اعشاری را به کسر (اعداد گویا) تبدیل کنیم؟

می دانیم اعداد اعشاری ای که بتوان به کسر تبدیل کرد سه حالت دارند. در ادامه برای هر کدام بصورت جداگانه توضیح می دهیم که چطور می توان هر دسته از عداد اعشاری را به کسر گویا تبدیل کرد.

تبدیل عدد اعشاری نوع اول به کسر مختوم

حالت اول: برای تبدیل اعداد اعشاری نوع اول به کسر کافی است کل ارقام را بدون اعشار در صورت کسر بنویسیم و در مخرج کسر به تعداد ارقام بعد از اعشار جلوی رقم یک، رقم صفر قرار دهید.

مثلا برای تبدیل عدد اعشاری $1.2$ به کسر باید بنویسیم $\frac{12}{10}$ که اگر توجه کنید عدد $1.2$ را بدون اعشار در صورت کسر نوشتیم و در مخرج عدد یک را قرار دادیم و چون یک رقم یعنی فقط $2$ بعد از اعشار وجود دارد پس یک رقم صفر جلوی یک قرار می دهیم.

تبدیل کسر مختوم به عدد اعشاری نوع اول

اگر بخواهیم یک کسر با مخرجی که توانی از ده باشد (یعنی مخرج بصورت یک رقم یک با چند رقم صفر) را تبدیل به عدد اعشاری کنیم باید صورت کسر را بنویسیم بعد به تعداد صفرهای مخرج اعشار بزنیم. به نمونه سوالات حل شده ی تبدیل کسر به عدد اعشاری زیر توجه کنید.

*برای تبدیل کسر $\frac{32}{10}$ به عدد اعشاری کافی است بنویسیم $32$ و چون در مخرج یک رقم صفر وجود دارد از سمت راست یک رقم جلو بیاییم و علامت اعشار را قرار دهیم یعنی $3.2$ .

*برای تبدیل کسر $\frac{32}{100}$ به عدد اعشاری کافی است بنویسیم $32$ و چون در مخرج دو رقم صفر وجود دارد از سمت راست دو رقم جلو بیاییم و علامت اعشار را قرار دهیم یعنی $0.32$ .

*برای تبدیل کسر $\frac{32}{1000}$ به عدد اعشاری کافی است بنویسیم $32$ و چون در مخرج سه رقم صفر وجود دارد از سمت راست سه رقم جلو بیاییم و علامت اعشار را قرار دهیم یعنی $0.032$ . می بینیم که چون رقم سوم وجود ندارد به جای آن صفر قرار می دهیم.

تبدیل عدد اعشاری نوع دوم به کسر متناوب ساده

حالت دوم: برای تبدیل اعداد اعشاری با ارقام اعشاری ِ تکراری به کسر متناوب ساده مطابق مثال های حل شده ی زیر عمل کنید:

مثال: برای تبدیل عدد $1.33333…=1.\bar{3}$ به کسر ابتدا این عدد را به صورت $A=1.\bar{3}$ نام گذاری می کنیم سپس $10A$ را محاسبه می کنیم که برابر می شود با $10A=13.\bar{3}$ حالا این دو عبارت را از هم تفریق می کنیم. در این تفریق باید توجه کنیم که که قسمت اعشاری هر دو عدد یکسان است چون 3 درقسمت اعشاری هر دو عددِ $1.\bar{3}$ و $13.\bar{3}$ بیشمار تکرار می شود پس می توان قسمت اعشاری هر دو را یکسان فرض کرد. و جواب تفریق به صورت زیر در می آید:

$10A-A=13.\bar{3}-1.\bar{3}$

$\Rightarrow\,\,\,9A=13-1=12 \,\,\,\Rightarrow\,\,\,A=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

که می دانیم $A$ همان $1.\bar{3}$ است پس $1.\bar{3}=\frac{4}{3}$ می باشد.

*بنابراین برای تبدیل اعداد اعشاری حالت دوم به کسر باید آن ها را ده یا صد یا هزار برابر کرد ( که اینکه در چه عددی ضرب می کنیم بستگی به تعداد ارقام تکرار شونده ی بعد از اعشار دارد ) بعد با یک تفریق به کسر معادل می رسیم.

نکته: برای تبدیل کسر متناوب ساده به عدد اعشاری کافی است صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم کنید.

تبدیل عدد اعشاری نوع سوم به کسر متناوب مرکب

حالت سوم: برای تبدیل اعشاری شامل ارقام ثابت و تکراری بعد از اعشار به کسر متناوب مرکب، مشابه حالت دوم عمل می کنیم با این تفاوت که ابتدا قسمت ثابت را با ضرب در توانی از ده کردن به قسمت صحیح می آوریم. برای بهتر متوجه شدن به مثال های زیر توجه کنید:

مثال: برای تبدیل عدد $1.2333….=1.2\bar{3}$ به کسر ابتدا این عدد را به صورت $A=1.2\bar{3}$ نام گذاری می کنیم سپس $10A$ را محاسبه می کنیم که برابر می شود با $10A=12.\bar{3}$ حالا که قسمت ثابتِ بعد از اعشار با ضرب در ده شدن به قسمت ِ صحیح آمده از اینجا به بعد شبیه به حالت دوم عمل می کنیم و به تعداد ارقام ِ تکراری که یکی هست دو طرف تساوی $10A=12.\bar{3}$ را در ده ضرب می کنیم. حالا این دو عبارت را از هم تفریق می کنیم. در این تفریق باید توجه کنیم که که قسمت اعشاری هر دو عدد یکسان است چون 3 درقسمت اعشاری هر دو عددِ $123.\bar{3}$ و $12.\bar{3}$ بیشمار تکرار می شود پس می توان قسمت اعشاری هر دو را یکسان فرض کرد. و جواب تفریق به صورت زیر در می آید:

$100A-10A=123.\bar{3}-12.\bar{3}$

$\Rightarrow\,\,\,90A=123-12=111$

$\Rightarrow\,\,\,A=\frac{111}{90}=\frac{37}{30}$

که می دانیم $A$ همان $1.2\bar{3}$ است پس $1.2\bar{3}=\frac{37}{30}$ می باشد.

نکته: برای تبدیل کسر متناوب مرکب به عدد اعشاری کافی است صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم کنید.

جمع بندی تبدیل انواع اعداد اعشاری به کسر یا عدد گویا

در ادامه برای اینکه معادل بودن هر دسته از انواع اعداد اعشاری با کسرهای مختوم، متناوب ساده و متناوب مرکب را بازبینی کنیم مثال های ارائه شده در این مقاله (اعداد اعشاری) را با هم بررسی می کنیم:

به کسرمختوم زیر و عدد اعشاری معادلش توجه کنید.

$32.5=\frac{325}{10}$

همانطور که می بینید تجزیه ِ مخرج این کسر فقط شامل اعداد اول 2 و 5 می شود. $(10=2\times5)$ همچنین در هر عدد اعشاری ارقام پس از اعشار یک جا خاتمه می یابند.

به کسر متناوب ساده زیر و معادل اعشاری ش توجه کنید.

$1.\bar{3}=\frac{4}{3}$

می بینیم که مخرج این کسر شامل اعداد اولی غیر از 2 و 5 یعنی 3 می باشد. همچنین یک رقم پس از اعشار به طور منظم تکرار شده است.

به کسر متناوب مرکب و معادل اعشاری ش توجه کنید.

$1.2\bar{3}=\frac{37}{30}$

می بینید که مخرج کسر پس از ساده شدن 30 است که تجزیه آن به صورت زیر است:

$30=2\times5\times3$

همانطور که مشاهده می کنید مخرج این عدد غیر از اینکه شامل 2 یا 5 هستند شامل عدد اول دیگری هم هستند مثل 3. در قسمت اعشاریِ اعداد اعشاری نیز می بینید که یک رقم یعنی 2 وجود دارد و بعد از آن یک رقم یعنی 3 بطور متناوب تکرار می شود.

چطور عدد مخلوطِ معادل با اعداد اعشاری را بدست آوریم؟

اعداد اعشاری ای که دارای قسمت صحیح ِ غیر صفر هستند (یعنی کسر بزرگتر از واحد هستند) را می توان به صورت عدد مخلوط نوشت. برای مثال $3.91$ را می توان بصورت $3\frac{91}{100}$ نوشت. در واقع تمام آموزش های مربوط به گسترده نویسی و تبدیل اعداد اعشاری به کسر را می توان برای تبدیل اعداد اعشاری به عدد مخلوط به کار برد. به سوالات حل شده ی تبدیل عدد اعشاری به عدد مخلوط توجه کنید.

برای تبدیل عدد اعشاری $1.2\bar{3}$ به عدد مخلوط ایتدا این عدد اعشاری را بصورت $1+0.2\bar{3}$ می نویسیم سپس عدد $0.2\bar{3}$ را با توجه به نکات مربوط به عدد اعشاری نوع سوم و کسر متناوب مرکب به کسر تبدیل می کنیم. اگر $A=0.2\bar{3}$ داریم:

$100A-10A=23.\bar{3}-2.\bar{3}$

$\Rightarrow\,\,\,90A=23-2=11 \,\,\,\Rightarrow\,\,\,A=\frac{11}{90}$

در نتیجه عدد $1.2\bar{3}$ را که بصورت $1+0.2\bar{3}$ نوشته بودیم می توانیم بصورت $1+\frac{11}{90}$ بنویسیم. در نتیجه عدد مخلوط معادل با $1.2\bar{3}$ برابر است با $1\frac{11}{90}$ .

آموزش نحوه جمع و تفریق کردن اعداد اعشاری

در این بخش به آموزش جمع و تفریق اعداد اعشاری می پردازیم. برای آموزش جمع شما باید ابتدا ارزش مکانی هر رقم را در یک عدد اعشاری بدانید که در قسمت خواندن و نوشتن اعداد اعشاری توضیح داده شده است. برای جمع اعداد اعشاری باید ارقام با ارزش های مکانی یکسان را با هم جمع کرد. مثلا برای محاسبه جمع $5.7+9.1$ باید به این اینکه هر رقم در چه جایگاهی قرار دارد توجه کنیم رقم 1 و 7 هر کدام در جایگاه دهم قرار دارند پس باید با هم جمع شوند بنابراین می نویسیم $7+1=8$ بنابراین در حاصل جمع، رقم 8 نیز جایگاه دهم را خواهد داشت. ارقام 5 و 9 نیز هر کدام جایگاه یکان دارند و باید با هم جمع شوند که حاصل برابر 14 می شود می دانیم 14 یک عدد دو رقمی است پس نمی توان آن را در جایگاه یک رقم قرار داد پس رقم با جایگاه پایین تر یعنی 4 را در جایگاه یکان و رقم با جایگاه بالاتر یعنی 1 را در جایگاه بالاتر از یکان یعنی دهگان قرار می دهیم. بنابراین

$5.7+9.1=14.8$

تفریق اعداد اعشاری مشابه اعداد صحیح انجام می شود. لطفا به تفریق اعداد اعشاری زیر و جواب ش توجه کنید.

$9.8-1.2=8.6$

در تفریق $9.8-1.2=8.6$ ارقام با ارزش های مکانی یکسان را از هم کم می کنیم و حاصل را در همان جایگاه قرار می دهیم. یعنی از پایین ترین جایگاه شروع می کنیم که اینجا دهم است پس عدد 2 را از 8 کم می کنیم که می شود 6 بنابراین رقم مربوط به جایگاه دهم حاصل تفریق بدست می آید. بعد سراغ جایگاه بعدی یعنی یکان می رویم یعنی 1 را از 9 کم می کنیم که می شود 8 و این عدد را در جایگاه یکان در حاصل تفریق قرار می دهیم.

چطور ضرب و تقسیم اعداد اعشاری را انجام دهیم؟

در این بخش ابتدا به آموزش ضرب اعداد اعشاری در هم می پردازیم و بعد از آن با آموزش تقسیم اعداد اعشاری بر هم این بخش را به اتمام می رسانیم.

برای ضرب اعداد اعشاری بهتر است اعداد اعشاری را تبدیل به کسر کنیم. برای ضرب اعداد اعشاری، ابتدا اعداد اعشاری را تبدیل به کسر می کنیم سپس کسرها را طبق ضرب اعداد گویا در همدیگر ضرب می کنیم. یعنی صورت کسرها را در هم ضرب می کنیم و در صورت می نویسیم و مخرج کسرها را در هم ضرب می کنیم و در مخرج می نویسیم.

$1.36\times0.23=\frac{136}{100}\times\frac{23}{100}$

$=\frac{3128}{10000}=0.3128$

اما می توان اعداد اعشاری را همانطور که هستند یعنی در حالت اعشاری در هم ضرب کنیم برای این کار دو عدد را به صورت بدون اعشار در نظر می گیریم بعد دو عدد را در هم ضرب می کنیم سپس تعداد ارقام بعد از اعشاری هر دو عدد را می شماریم بعد برای حاصل ضرب از سمت راست شروع به شمردن می کنیم تا به تعداد مورد نظر برسیم بعد همانجا اعشار را قرار می دهیم. جواب بدست آمد!

مثلا در ضرب $1.36\times0.23$ ابتدا ضرب $136\times23$ را انجام می دهیم که حاصل برابر $3128$ می شود. سپس تعداد ارقام پس از اعشار هر دو عدد را می شماریم. تعداد ارقام پس از اعشار عدد $0.23$ برابر دو تاست. تعداد ارقام پس از اعشار عدد $1.36$ برابر دو تاست. بنابراین حاصل ضرب در مجموع باید چهار رقم پس از اعشار داشته باشد از رقم 8 که سمت راست ترین رقمِ حاصلضرب است، چهار رقم می شماریم و بعد علامت اعشار را قرار می دهیم حاصل بصورت $0.3128$ بدست می آید.

برای تقسیمِ اعداد اعشاری، هر دو را تبدیل به عدد کسری تبدیل می کنیم بعد طبق قوانین تقسیم گویا کسر اول را می نویسیم و در معکوس کسر دوم ( جای صورت و مخرج را تغییر دهیم کسر، معکوس می شود) ضرب می کنیم. به سوال حل شده تقسیم اعشاری که در ادامه آمده توجه کنید.

$2.38\div7.39=\frac{238}{100}\div{739}{100}$

$=\frac{238}{100}\times\frac{100}{739}=\frac{238}{739}$

نکته: برای اعدادی مانند $0.02$ که در تبدیل آنها به کسر باید بنویسیم $\frac{002}{100}$ این را در نظر می گیریم که صفر در سمت چپ عدد در صورت کسر استفاده است. از آنجا که نباید صفر سمت چپ اعداد صحیح را در نظر گرفت بنابراین به جای $\frac{002}{100}$ می نویسیم $\frac{2}{100}$ .

چطور دو عدد اعشاری را مقایسه کنیم؟

در این بخش به آموزش نحوه مقایسه دو عدد اعشاری می پردازیم. برای مقایسه دو عدد اعشاری ابتدا به قسمت صحیح آنها توجه کنید اگر قسمت صحیح یک عدد اعشاری از دیگری بزرگتر باشد همان عدد بزرگتر است مثلا $3.9999<4.01$ . در این دو عدد قسمت صحیح عدد $3.9999$ برابر 3 است و قسمت صحیح عدد $4.01$ برابر 4 است بدون توجه به قسمت اعشاری دو عدد می توان گفت نامساوی $3.9999 < 4.01$ برقرار است.

اگر قسمت صحیح برابر باشد به رقم ها در ارزش مکانی دهم برای مقایسه توجه می کنیم. دهم هر کدام بزرگتر بود آن عدد بزرگتر است مثلا $27.31>27.1259875643$ . می بینیم در این دو عدد قسمت های صحیح برابرند و هر دو برابر 27 اند. بنابراین سراغ ارزش مکانی بعدی یعنی دهم می رویم رقم موجود در جایگاه دهم در $27.31$ برابر 3 و در عدد $27.1259875643$ برابر 1 است بنابراین واضح است که نامساوی $27.31 > 27.1259875643$ برقرار است.

و اگر هم قسمت صحیح و هم دهم برابر بودند به صدم توجه می کنیم و همین کار را تا اخر ادامه می دهیم.

جمع بندی

در این مقاله به آموزش هایی در مورد اعداد اعشاری و تبدل اعداد اعشاری به کسر ، گسترده نویسی، جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد اعشاری و مقایسه اعداد اعشاری با هم پرداختیم. اعداد اعشاری زیرمجموعه اعداد حقیقی هستند. اگر علاقمند به خواندن آموزش های رایگان در مورد اعداد حقیقی و سایر زیرمجموعه های اعداد حقیقی هستید به مقاله اعداد مراجعه کنید. لطفا ما را از نظرات ارزشمند تان در مورد مقاله اعداد اعشاری بهره مند کنید. در ضمن جواب دادن به سوال متن رو فراموش نکنید.

همه چیز درباره ی اعداد اعشاری

اعداد اعشاری چه اعدادی هستند؟

خواندن و نوشتن اعداد اعشاری و ارزش های مکانی

گسترده نویسی اعداد اعشاری

دسته بندی انواع اعداد اعشاری

چطور اعداد اعشاری را به کسر (اعداد گویا) تبدیل کنیم؟

جمع بندی تبدیل انواع اعداد اعشاری به کسر یا عدد گویا

چطور عدد مخلوطِ معادل با اعداد اعشاری را بدست آوریم؟

آموزش نحوه جمع و تفریق کردن اعداد اعشاری

چطور ضرب و تقسیم اعداد اعشاری را انجام دهیم؟

چطور دو عدد اعشاری را مقایسه کنیم؟

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر