جامع ترین آموزش در مورد اعداد توان دار و نماد علمی
اعداد توان دار یا به انگلیسی 
موضوع مطالعه ی این مقاله است. در این مقاله به آموزش اعداد توان دار می پردازیم. ابتدا اعداد توان دار را تعریف می کنیم. سپس کاربردی از آنها را در بخش اعداد اول و گسترده نویسی اعداد بیان می کنیم. بعد از آن ترتیب انجام عملیات ریاضی در حالی که عبارت مورد نظر دارای اعداد توان دار است می پردازیم. در قسمت های بعدی حالت هایی را بررسی می کنیم که پایه یا توان هر کدام منفی باشند. در نهایت نحوه ضرب و تقسیم و به توان رساندن اعداد توان دار را آموزش می دهیم. در آخر کاربرد مهم اعداد توان دار در سایر علوم یعنی ” نماد علمی ” یا 
را بیان می کنیم. اگر علاقمند به یادگیری اعداد و عبارات توان دار هستند هرگز این آموزش را از دست ندهید.
تعریف توان
در ریاضی برای ساده تر کردن عباراتی مثل 
از عبارت توانی نظیر آن یعنی 
استفاده می کنیم. در واقع 
و را بصورت سه به توان پنج می خوانیم و به این معناست که عدد سه، پنج مرتبه در خودش ضرب شده است.
به طور کلی در 
به 
پایه و به 
توان می گویند.
تجزیه اعداد به شمارنده های اول با نمایش اعداد توان دار
از بخش اعداد اول می دانیم وقتی می خواهیم یک عدد مرکب را بصورت حاصلضرب شمارنده های اول آن بنویسیم باید تقسیم های متوالی انجام دهیم. بعد از اینکه عدد مرکب را بصورت حاصلضرب شمارنده های اول نوشتیم می توانیم با توجه به تکرار هر عدد اول از عبارت توانی جایگزین آن استفاده کنیم.
مثلا برای عدد 300 داریم: 
حال با نمایش توانی می توان تجزیه عدد 300 را بصورت ساده تری نوشت. 
کسری و گویا است، بدانید مطالعه مقاله جذر و ریشه را پیشنهاد می کنیم. اگر نظر یا پیشنهادی در مورد مقاله اعداد توان دار دارید لطفا در قسمت کامنت ها ما را از نظر خود بهره مند کنید.
چطور یک کسر را به توان برسانیم؟
برای اینکه یک کسر را به توان برسانید چند نکته حائز اهمیت است اول اینکه کسر باید داخل پرانتز باشد. دوم اینکه هم صورت کسر و هم مخرج آن باید به توان برسند.
به عبارات زیر توجه کنید:
![\[(\frac{1}{5})^{3}=\frac{1\times1\times1}{5\times5\times5}=\frac{1}{125}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-f2c619e3392a8c361245013595ed7a4c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(\frac{6}{7})^{2}=\frac{6\times6 }{7 \times7}=\frac{36}{49}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-e56aa6bcbb14914ad1dc0783ca8dc41c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(\frac{4}{9})^{0}=\frac{1 }{1}=1\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-9c18e1b3779868fec867ede6a6e1a657_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
نکته: اگر توان بالای صورت یا مخرج باشد و کسر، درون پرانتز نباشد؛ توان متعلق به کل کسر نیست و فقط مربوط به عددی است که توان بالای آن قرار گرفته است.
![\[(\frac{3}{5})^{2}\neq\frac{3^{2}}{5}\neq\frac{3}{5^{2}}\,\,\,,\,\,\,\frac{3}{5^{2}}=\frac{3}{25}\,\,\,,\,\,\,\frac{3^{2}}{5}=\frac{9}{5}\,\,\,,\,\,\,(\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{25}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-2bb16667cb9de2e71fa6ac4796155ae5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
بنابراین واضح است که این سه عبارت با هم برابر نیستند. به طور کلی همانطور که پیش تر گفته شد اگر کسر داخل پرانتز نباشد و بعد به توان نرسد توان برای کل کسر نیست و فقط برای عددی است که زیر توان قرار دارد.
ترتیب انجام عملیات ریاضی به انضمام وجود توان
ترتیب انجام عملیات ریاضی به این صورت است که ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنید بعد عبارات توانی را ساده می کنید بعد از آن سراغ ضرب و تقسیم می روید ( بین ضرب و تقسیم هر کدام زودتر آورده شد همان را زودتر محاسبه می کنید) در آخر جمع و تفریق را انجام می دهید ( بین جمع و تفریق هر کدام زودتر آمد همان عمل را زودتر محاسبه کنید)
مثال: عبارت زیر را محاسبه کنید:
![\[10\div(2^{3}-2\times3)+3^{2}\times2^{2}-3\times(-4)+8\div2\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-f46dc36b3d94c43b35f3d413b8ceb014_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
جواب: با توجه به ترتیب عملیات ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنیم. پس باید عبارت 
را محاسبه کنیم در این عبارت سه عمل وجود دارد توان، تفریق و ضرب می دانیم ابتدا باید توان را محاسبه کنیم بعد ضرب و بعد تفریق. بنابراین ابتدا 
را محاسبه می کنیم که برابر 
است بعد 
را محاسبه می کنیم که برابر 
است و در آخر تفریق را انجام می دهیم که برابر است با 
بنابراین عبارت داخل پرانتز برابر 
است. بنابراین سوال بصورت زیر تغییر می کند:
![\[10\div2+3^{2}\times2^{2}-3\times(-4)+8\div2\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-99cace11e48d97582420c6144672ac80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در این عبارت عمل توان تقسیم ضرب جمع و تفریق دیده می شود ابتدا باید اعداد توان دار را ساده کنیم: 
و 
بنابراین صورت سوال را می توان بصورت زیر نوشت:
![\[10\div2+9\times4-3\times(-4)+8\div2\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-aa4e49da4622530587b96b8062aa8733_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در این مرحله از سمت چپ هر جا به عمل ضرب یا تقسیم رسیدیم آن را محاسبه می کنیم:
![\[10\div2=5\,\,\,,\,\,\,9\times4=36\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-eceb4be521c4c54629b0c95499d52c97_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3\times(-4)=-12\,\,\,,\,\,\,8\div2=4\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-fe3d9473180524664130daeb46c0dc27_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
حال همه ی این جواب ها را در صورت سوال جایگذاری می کنیم:
![\[5+36-(-12)+4\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-9993ece3af19691343da9c0fa0c7128c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در مرحله آخر از سمت چپ شروع به محاسبه جمع و تفریق ها می کنیم:
![\[5+36-(-12)+4=41-(-12)+4=41+12+4=53+4=57\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-59d98d3ff2fdf3e3412d20087d5fe406_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
بنابراین جواب سوال 57 می باشد.
چطور اعداد منفی را به توان برسانیم؟
تعریف توان برای اعداد مثبت، منفی، کسری و اعشاری با هم تفاوتی نمی کند توان در همه ی این اعداد به معنای تعداد تکرار ضرب است. اما در این بخش می خواهیم در مورد اعداد منفی صحبت کنیم. به عبارت های زیر توجه کنید:
![\[(-2)^{3}=(-2)\times(-2)\times(-2)=-32\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-e847209edfc63d56f7c62f2804f1d4bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(-2)^{4}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-b31f84acef9771e6ca251927b62523bb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
از بخش اعداد صحیح می دانیم که حاصل ضرب تعداد زوج از اعداد منفی ، یک عدد مثبت است بنابراین اینکه چهار بار عدد 
را در خودش ضرب کنیم حاصل مثبت می شود. بنابراین اگر توان ِ عدد منفی، زوج باشد حاصل، عددی مثبت است. همچنین می دانیم که حاصل ضرب تعداد فرد از اعداد منفی، یک عدد منفی است بنابراین اینکه پنج بار عدد را در خودش ضرب کنیم حاصل منفی می شود. بنابراین اگر توان ِ عدد منفی، فرد باشد حاصل، عددی منفی است.
توجه کنید در صورتی می گوییم عدد منفی به توان رسیده است که عدد در داخل پرانتز باشد برای مثال
![\[-2^{4}=(-2)\times2\times2\times2=-16\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-4d461bb6f1f223a02ec57eef90dc8d84_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
بنابراین اگر علامت منفی به همراه عدد داخل پرانتز نباشد علامت منفی به توان نمی رسد.
وقتی توان، طبیعی نیست بلکه یک عدد صحیح منفی هست چکار کنیم؟
![\[a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=(\frac{1}{a})^{n}\,\,\,\,,\,\,\,a\neq0\,\,\,,\,\,\,n\in\Bbb{N}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-d5b012f412b628123bfb1c8602938462_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=(\frac{1}{3})^{2}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-c3b887379f0a104ceadff6a9b7bddc47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2^{-5}=\frac{1}{2^{5}}=(\frac{1}{2})^{5}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-b964281f44438d038e5f18362e7815ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
گسترده نویسی به کمک اعداد توان دار
برای اینکه گسترده اعداد را بنویسید باید جایگاه یکان دهگان صدگان و … را در نظر داشته باشید و آن جایگاه را در رقمی که در آن جایگاه هست ضرب کنید. مثلا در عدد 123 رقم 1 در جایگاه صدگان قرار دارد بنابراین عدد 100 را در عدد 1 ضرب می کنیم سپس به عدد 2 توجه می کنیم این رقم در جایگاه دهگان قرار دارد بنابراین عدد 10 را در رقم 2 ضرب می کنیم بعد سراغ رقم بعدی یعنی 3 می رویم این رقم در جایگاه یکان قرار دارد بنابراین رقم 3 را در عدد 1 ضرب می کنیم. (برای اینکه جایگاه ارقام را در یک عدد بدانید به مقاله ی اعداد اعشاری رجوع کنید)
در حالت کلی گسترده یک عدد چهار رقمی به صورت زیر بدست می آید:
![\[\overline{abcd}=\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-d167599c9d907f43ad8a82c212f2e89d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a\times10^{3}+b\times10^{2}+c\times10^{1}+d\times10^{0}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-07a70e2c486dd5d80a98a97d958e3604_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: گسترده 3806 را بنویسید.
![\[3806=\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-6d99883435581e3f11cae9b683af318b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3\times10^{3}+8\times10^{2}+0\times10^{1}+6\times10^{0}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-f0ef8dd5ff84d5adfef2c0e31b958429_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=3000+800+0+10+6\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-d664886af6b8973e77ba488154f36c08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ضرب اعداد توان دار
برای محاسبه ضرب دو عدد توان دار می توان حاصل این دو عدد را محاسبه کرد و در نهایت با هم ضرب کرد. اما برای حالاتی خاص قواعدی برای محاسبه ساده تر حاصل ضرب دو عدد توان دار وجود دارد.
حالت اول: اگر پایه های دو عدد توان دار با هم برابر باشند برای بدست آوردن حاصل ضرب پایه مشترک را می نویسیم و توان اعداد را با هم جمع می کنیم.
![\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-925d34eaaf5b489ad7d13e71eb13f600_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
حالت دوم: اگر توان های دو عدد توان دار با هم برابر باشند پایه ها را در هم ضرب می کنیم و توان مشترک همان توان حاصل ضرب است.
![\[a^{m}\times b^{m}=(ab)^{m }\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-050a0fd3e87fe82f812a2ba16aa7ccaf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: حاصل ضرب اعداد زیر را حساب کنید:
![\[(-2)^{5}\times (-2)^{3}=(-2)^{8}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-d27c15309aa11f637088c4525482b310_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(-2)^{5}\times (-3)^{5}=(+6)^{5}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-a2f1a72ca40fff2a31925c95cca7eb84_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
تقسیم اعداد توان دار
برای محاسبه تقسیم دو عدد توان دار می توان حاصل این دو عدد را محاسبه کرد و در نهایت بر هم تقسیم کرد. اما برای حالاتی خاص قواعدی برای محاسبه ساده تر حاصل تقسیم دو عدد توان دار وجود دارد.
حالت اول: اگر پایه های دو عدد توان دار با هم برابر باشند برای بدست آوردن حاصل تقسیم پایه مشترک را می نویسیم و توان اعداد را از هم تفریق می کنیم.
![\[a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-480707944c752ded9866f14cef9765a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
حالت دوم: اگر توان های دو عدد توان دار با هم برابر باشند پایه ها را تقسیم می کنیم و توان مشترک همان توان حاصل تقسیم است.
![\[a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m }\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-ba2f60d5405b982ad51f6fcdf585d80b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: حاصل تقسیم اعداد زیر را حساب کنید:
![\[3^{2} \div 3^{2}=3^{2-2 }=3^{0}=1\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-8c48c7b5b25543aea2e0161a7fb7bbdc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[5^{12} \div 5^{-2.5}=3^{12-(-2.5) }=3^{14.5}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-587e78b70312518250986ab8595d6d86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[6^{5} \div (-3)^{5}=(\frac{6}{-3})^{5 }=(-2)^{5}=-32\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-42d2973db6895effea93fb09c7981603_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3^{2} \div 3^{2}=(\frac{3}{3})^{2}=1^{2}=1\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-ad6655dc6f2735cbf890b2b876565425_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
به توان رساندن اعداد توان دار
اگر یک عدد توان دار را بخواهیم دوباره به توان برسانیم آن عدد را در داخل پرانتز قرار می دهیم و بعد توان را در بالای آن قرار می دهیم. مثلا اگر بخواهیم عدد فرضی 
را به توان برسانیم می نویسیم 
برای بدست آوردن این عبارت می نویسیم
![\[(a^{m})^{n}=a^{m\times n}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-3e6d006c833e3eb3fae625d5c5f3fe47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
به مثال های زیر توجه کنید:
![\[((-1)^{3})^{2}=(-1)^{2\times 3}=(-1)^{6}=+1\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-dbcff5c1f120749134355bd780014711_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[((3)^{8})^{9}=3^{8\times 9}=3^{72}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-fac07d11c21ff7ed789ed945e54bfd82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در ادامه چند نکته درباره ی اعداد توان دار می بینیم:
- هر عددی به توان یک برابر خود عدد است.
- یک به توان هر عددی برابر یک است.
- هر عددی به توان صفر برابر یک است.
- صفر به توان هر عدد مثبت برابر صفر است. (توجه کنید برای صفر توان منفی و صفر تعریف نمی شود و بی معناست)
- صفر به توان صفر معنا ندارد.
بزرگتر است.نوشتن اعداد به روش نماد علمی
یکی از کاربردهای اعداد توان دار نوشتن اعدادِ خیلی بزرگ یا خیلی کوچک در علوم دیگر به صورت نماد علمی است.
به طور کلی نماد علمی هر عدد اعشاری مثبت به صورت 
است که در آن 
هستند.
مثال : اعداد زیر را به صورت نماد علمی بنویسید 
و 
جواب: برای اینکه یک عدد را به صورت نماد علمی بنویسیم باید آن عدد را به صورت حاصل ضرب یک عدد کمتر از ده و بیشتر مساوی یک در توانی از ده بنویسیم. برای اینکار عدد اعشاری را با جابجا کردن اعشار به اندازه 9 رقم بع عدد اعشاری بین 1 تا 10 تبدیل می کنیم که می شود 
حالا برای اینکه این جابجایی جبران شود این عدد را در 
ضرب می کنیم. داریم:
![\[0.000000003256987=3.256987\times 10^{-9}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-6bcca8d92e78d8d2ba35b11e9366c7f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در عدد نیز برای اینکه این عدد به صورت نماد علمی نوشته شود باید آن را به صورت عدد اعشاری در نظر بگیریم که اعشار آن بعد از سمت راست ترین صفر آن است. در نتیجه این اعشار باید به اندازه 8 رقم جابجا شود تا این عدد به شکل عددی کمتر از ده در بیاید در نتیجه داریم 
حالا برای اینکه این جابجایی جبران شود باید عدد حاصل را که کمتر از ده است در 
ضرب کنیم. در نتیجه داریم :
![\[125000000=1.25 \times 10^{8}\]](https://faramath.com/core/ql-cache/quicklatex.com-0418a7bce4c5d04324fea9e7abcf1789_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
همه ی فرمول های مربوط به اعداد توان دار را در جدول زیر می توانید ببینید:
جمع بندی
در این مقاله به آموزش اعداد توان دار و روش ضرب و تقسیم آنها پرداختیم. همچنین به کاربرد اعداد توان دار در بیان شمارنده های یک عدد در بخش اعداد اول و گسترده نویسی در اعداد اعشاری پرداختیم. همانطور که در این مقاله خواندید نماد علمی در علوم شیمی و فیزیک و نانو کاربرد زیادی دارد در این آموزش به بیان نحوه نوشتن یک عدد به صورت نماد علمی پرداختیم. اگر تمایل دارید در مورد اعداد توان دار در حالتی که ” توان ” آنها اعداد کسری و گویا است، بدانید مطالعه مقاله جذر و ریشه را پیشنهاد می کنیم. اگر نظر یا پیشنهادی در مورد مقاله اعداد توان دار دارید لطفا در قسمت کامنت ها ما را از نظر خود بهره مند کنید.
