بهترین آموزش درباره ی اعداد صحیح و ضرب و تقسیم و جمع و تفریق آنها

اعداد صحیح یا به انگلیسی $integers$ شامل اعداد طبیعی و قرینه آنها هستند همچنین این مجموعه اعداد شامل عدد صفر هم می شوند. در این مقاله قصد داریم به آموزش اعداد صحیح بپردازیم. ابتدا به معرفی اعداد صحیح می پردازیم و بعد از آن مقایسه اعداد صحیح و مفهوم قرینه را در مورد آنها بررسی می کنیم. بعد از آن به آموزش جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد صحیح می پردازیم. امیدواریم از این آموزش لذت ببرید. لطفا ما را از نظرات تان در کامنت ها بهره مند کنید.

اعداد صحیح چه اعدادی هستند و چگونه نمایش داده می شوند؟

در ریاضی، روی محور اعداد حقیقی، سمت راستِ عددِ صفر را مثبت و سمت چپ صفر را منفی در نظر می گیریم. عددهای $…,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3+,+4,…$ را عددهای صحیح می نامیم. در مقاله مجموعه ها می خوانیم که نمایش اعداد صحیح به زیان ریاضی به صورت $\Bbb{Z}=\{\pm k |k \in \Bbb{W}\}$ می باشد که در این تعریف $\Bbb{W}$ همان اعداد حسابی می باشد.

عددهای $+1,+2,+3,+4,…$ را عددهای صحیح مثبت و هر یک از عددهای $…,-4,-3,-2,-1$ را عددهای صحیح منفی می نامیم. عدد صفر نه مثبت است نه منفی.

اعداد مثبت را می توان بدون علامت $+$ هم نوشت. پس هر زمان عددی بدون علامتی در سمت چپش دیدید آن عدد، یک عدد مثبت است. مثلا می توانیم به جای $+100$ بنویسیم $100$ . اعداد صحیح مثبت همان اعداد طبیعی اند.

بعضی چیزها را می توان با اعداد صحیح مثبت، منفی و صفر نشان داد برای مثال در بازی فوتبال برای یک تیمِ مشخص می توان تعداد گل هایی که به ثمر رساندند را با اعداد مثبت و تعداد گل هایی که خوردند با اعداد منفی نشان داد. و اگر گلی در بازی به ثمر نرسید امتیاز تیم را با عدد صفر نشان داد.

اگر سطح دریا را ارتفاع صفر در نظر بگیریم ارتفاع اجسام و سطوح بالاتر از سطح دریا را با اعداد مثبت و ارتفاع اجسام و سطوح پایین تر از دریا را با اعداد منفی نشان می دهیم و ارتفاع اجسام و سطوح هم تراز با دریا را صفر در نظر می گیریم.

چطور دو عدد صحیح را مقایسه کنیم؟

در مقایسه دو عدد، عددی بزرگتر است که سمت راستِ عدد دیگر روی محور اعداد حقیقی باشد. بر روی محور اعداد حقیقی هر چه به سمت راست محور پیش برویم عددها بزرگتر می شوند و هر چه به سمت چپ پیش برویم اعداد کوچکتر می شوند.

در ادامه چند نکته راجع به مقایسه اعداد صحیح بیان می کنیم:

* هر عدد صحیح مثبت از هر عدد صحیح منفی بزرگتر است.

* همه ی اعداد صحیح مثبت از صفر بزرگترند.

* همه ی اعداد صحیح منفی از صفر کوچکترند.

* اگر دو عدد هم علامت و مثبت باشند. ابتدا به تعداد ارقام آنها توجه کنید هر چه تعداد ارقام عدد بیشتر باشد آن عدد بزرگتر است $(123 > 98)$ . اگر تعداد ارقام برابر بودند به اولین رقم از سمت چپ توجه می کنیم اگر آنها هم برابر بودند سراغ رقم بعدی می رویم و آنقدر ادامه می دهیم تا یا مشخص شود یکی از دیگری بزرگتر است یا همه ی اراقام دو عدد برابرند که در نتیجه آن دو عدد با هم برابر شوند

* اگر دو عدد هم علامت و منفی بودند عددی بزرگتر است که قدرمطلق آن کوچکتر باشد. (مقدار عددی آن کوچکتر باشد. ) مثلا مقدار عددی ِ $-20$ از $-100$ کوچکتر است چون $20 < 100$ پس عدد $-20$ از $-100$ بزرگتر است $(-100 < -20)$ .

قرینه یک عدد صحیح را چطور بدست آوریم؟

قرینه هر عدد مثبت، عددی منفی و قرینه هر عدد منفی عددی مثبت است. قرینه ی صفر هم طبق قرارداد خود صفر است. برای نمایش قرینه ی هر عدد از نماد $''-``$ (علامت منفی) در سمت چپ آن عدد استفاده می کنیم.

$-(+5)=-5\,\,\,,\,\,\,-(-(+3))=+3$

$-(-4)=+4\,\,\,,\,\,\,-(-(-(7)))=-7$

سوال: قرینه $-(-8))$ را بدست آورید.

جواب: برای اینکه قرینه عددی را بدست آوریم کافی است که در سمت چپ آن علامت منفی بگذاریم بعد تعداد علامت های منفی را بشماریم اگر تعداد فرد بود حاصل عددی منفی است و اگر زوج بود حاصل عددی مثبت است. مثلا برای اینکه قرینه $-(-8)$ را بدست آوریم کافی است بنویسیم $-(-(-8))$ حالا تعداد علامت های منفی را می شماریم که می بینیم سه تا است و سه عددی فرد است بنابراین حاصل برابر است با $-8$ .

نکته: توجه کنید تعداد علامت های $+$ اصلا مهم نیست.

چطور اعداد صحیح را با هم جمع کنیم؟

برای جمع اعداد صحیح دو مسئله مهم هست یکی مقدار عددی ِ پاسخ و دیگری علامت پاسخ سوال.

برای بدست آوردن مقدار عددی باید نکات زیر را در نظر بگیرید:

* هر عددی را با صفر جمع کنیم حاصل خود عدد می شود.

*اگر دو عدد هم علامت باشند (یعنی هر دو مثبت یا هر دو منفی) دو عدد را با هم جمع کنید.

*اگر دو عدد علامت های متفاوتی داشتند (یکی مثبت و دیگری منفی) دو عدد را از هم تفریق کنید.

تا اینجای کار پاسخ سوال به صورت یک عدد بدون علامت بدست می آید برای بدست آوردن علامت پاسخ فقط باید یک نکته را در نظر داشته باشید: ” علامت پاسخ همان علامت عدد بزرگتر است.”

برای اینکه بهتر متوجه این نکات شوید چند مثال را در ادامه ارائه می دهیم:

مثال : جمع اعداد $0$ و $-3$ برابر با $-3$ هست. جمع اعداد $0$ و $+2$ برابر با $+2$ هست.

$0+(-3)=-3\,\,\,,\,\,\,0+(+2)=+2$

مثال : عدد $+2$ و $+3$ هم علامت اند بنابراین باید $2$ و $3$ را با هم جمع کنیم که می شود $5$ برای بدست آوردن علامت پاسخ کافی است به علامت عدد بزرگتر یعنی $3$ توجه کنیم که در صورت سوال مشخص است مثبت است بنابراین پاسخ $+5$ است.

$(+2)+(+3)=+5$

مثال : عدد $-2$ و $-3$ هم علامت اند بنابراین باید $2$ و $3$ را با هم جمع کنیم که می شود $5$ برای بدست آوردن علامت پاسخ کافی است به علامت عدد بزرگتر یعنی $3$ توجه کنیم که در صورت سوال مشخص است منفی است بنابراین پاسخ $-5$ است.

$(-2)+(-3)=-5$

مثال : عدد $-2$ و $+3$ مختلف العلامت اند بنابراین باید $2$ و $3$ را از هم تفریق کنیم که می شود $1$ برای بدست آوردن علامت پاسخ کافی است به علامت عدد بزرگتر یعنی $3$ توجه کنیم که در صورت سوال مشخص است مثبت است بنابراین پاسخ $+1$ است.

$(-2)+(+3)=+1$

مثال : عدد $+2$ و $-3$ مختلف العلامت اند بنابراین باید $2$ و $3$ را از هم تفریق کنیم که می شود $1$ برای بدست آوردن علامت پاسخ کافی است به علامت عدد بزرگتر یعنی $3$ توجه کنیم که در صورت سوال مشخص است منفی است بنابراین پاسخ $-1$ است.

$(+2)+(-3)=-1$

چطور اعداد صحیح را از هم کم کنیم؟

برای بدست آوردن تفریق اعداد صحیح کافی است تفریق را به جمع تبدیل کنیم. برای این کار ابتدا عدد اول را می نویسیم بعد علامت جمع می گذاریم و بعد قرینه عدد دوم را می نویسیم. بعد عملیات جمع را مطابق بخش قبل انجام می دهیم. در واقع به جای اینکه عدد اول را منهای عدد دوم کنیم عدد اول را با قرینه عدد دوم جمع می کنیم.

به تفریق های زیر توجه کنید:

$10-(-4)=10+4=14$

$-7-(-3)=-7+3=-4$

نحوه محاسبه جمع و تفریق اعداد چند رقمی

برای اینکه اعداد دو رقمی، سه رقمی یا بیشتر را با هم جمع و تفریق کنید کافی است که گسترده ی آن عدد را بنویسید و بعد عملیات جمع یا تفریق را برای هر بخش جداگانه بدست آورید.

چطور گسترده نویسی یک عدد صحیح را انجام دهیم؟

برای اینکه گسترده اعداد را بنویسید باید جایگاه یکان دهگان صدگان و … را در نظر داشته باشید و آن را در رقمی که در آن جایگاه هست ضرب کنید. (اگر نیاز به مطالعه در مورد اعداد توان دار دارید به مقاله مربوطه مراجعه کنید)

مثال: گسترده اعداد زیر را بنویسید.

$2386=$

$2\times10^{3}+3\times10^{2}+8\times10^{1}+6\times10^{0}$

$=2\times1000+3\times100+8\times10+6$

$=2000+300+80+6$

$-7409=$

$-7\times10^{3}-4\times 10^{2}-0\times10^{1}-9\times10^{0}$

$=-7\times1000-4\times100-0\times10-9$

$=-7000-400-0-9$

چطور دو عدد صحیح را با هم ضرب و تقسیم کنیم؟

برای ضرب اعداد صحیح باید ابتدا دو عدد را در هم ضرب کنید بعد علامت پاسخ را بدست آورید. برای تقسیم دو عدد صحیح ابتدا تقسیم را انجام دهید و بعد علامت پاسخ را بدست آورید. برای این کار باید به نکات زیر توجه کنید:

* در ضرب اگر یکی از دو عدد یا هر دو عدد صفر بود آنگاه حاصل صفر است.

*در تقسیم اگر مقسوم صفر باشد و مقسوم علیه عددی غیر از صفر باشد آنگاه حاصل صفر است. مثلا:

$0\div (-3)=0\,\,\,,\,\,\,0\div(+5)=0$

*در تقسیم اگر مقسوم علیه صفر باشد آنگاه پاسخ تقسیم نا مشخص است. و پیام Cannot-divide-by-zero توسط ماشین حساب نمایش داده می شود یعنی نمی توان بر صفر تقسیم کرد.

*اگر علامت هر دو عدد مثبت بود پاسخ ضرب یا تقسیم نیز مثبت است.

*اگر علامت هر دو عدد منفی بود پاسخ ضرب یا تقسیم نیز مثبت است.

*اگر علامت یک عدد مثبت و عدد دیگر منفی بود پاسخ منفی است.

ترتیب عملیات روی اعداد صحیح چیست؟

برای محاسبه حاصل یک عبارت شامل اعداد صحیح و چهار عمل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم باید به ترتیب ِ عمل ریاضی توجه کنید: اول ضرب و تقسیم را انجام دهید و بعد جمع و تفریق. بین ضرب و تقسیم عملی که زودتر آمد را زودتر محاسبه کنید. بین جمع و تفریق عملی که زودتر آمد را زودتر محاسبه کنید.البته همیشه اول عبارت داخل پرانتز را ساده کنید.

سوال: حاصل عبارات زیر را بدست آورید.

$(-2)+(-3)\times (+5)-(+2)\times (-1)=?$

$33-2\times 5+32\div 8 -3\times 10 \div 5 \times 2=?$

جواب: توجه کنید در مراحل حل هر سوال، عبارتی که اولویت ِ محاسبه دارد را درون یک پرانتز گذاشتیم.

$(-2)+(-3)\times(+5)-(+2)\times(-1)=$

$(-2)+[(-3)\times(+5)]-[(+2)\times(-1)]=$

$(-2)+(-15)-(-2)=$

$(-2)+(-15)+(+2)=$

$(-17)+(+2)=(-15)$

$33-2\times5+32\div8-3\times10\div5\times2=$

$33+(-2\times5)+(\frac{32}{8})+(-3\times10)\div5\times2=$

$33+(-10)+(+4)+((-30)\div5)\times2=$

$33+(-10)+(+4)+(-6)\times2=$

$33+(-10)+(+4)+(-12)=15$

نکات پایانی درباره اعداد صحیح

در ادامه چند نکته درباره اعداد صحیح می بینیم:

بزرگترین عدد صحیح منفی عدد $-1$ است.
بزرگترین عدد صحیح غیر مثبت عدد $0$ است.
کوچکترین عدد صحیح مثبت عدد $+1$ است.
کوچکترین عدد صحیح غیر منفی عدد $0$ است.
اگر حاصل ضرب یک عدد طبیعی در یک عدد صحیح، منفی شود آنگاه آن عدد صحیح حتما منفی است.
اگر ضرب دو عدد صحیح صفر شود آنگاه حداقل یکی از دو عدد صحیح صفر است.
اگر حاصل تقسیم دو عدد صحیح، منفی شود آنگاه حاصل ضرب دو عدد صحیح نیز منفی می شود و بالعکس.
اگر حاصل تقسیم دو عدد صحیح، مثبت شود آنگاه حاصل ضرب دو عدد صحیح نیز مثبت می شود و بالعکس.
در ضرب و تقسیم چند عدد صحیح اگر تعداد زوج علامت منفی داشته باشیم حاصل حتما مثبت است.
در ضرب و تقسیم چند عدد صحیح اگر تعداد فرد علامت منفی داشته باشیم حاصل حتما منفی است.
اگر حاصل ضرب دو عدد عددی ثابت باشد، کمترین حاصل جمع برای زمانی است که آن دو عدد در نزدیکترین حالت ممکن و حتی برابری قرار داشته باشند.

جمع بندی

در این مقاله به معرفی اعداد صحیح پرداختیم در مورد جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد صحیح آموزش دادیم. همچنین نحوه قرینه کردن اعداد و ترتیب عملیات در اعداد صحیح را بیان کردیم. در ضمن روش مقایسه کردن اعداد صحیح را توضیح دادیم.اعداد صحیح یکی از زیرمجموعه های اعداد حقیقی اند. اگر علاقمند به آموزش رایگان دیدن در مورد سایر اعداد حقیقی هستید لطفا به مقاله اعداد حقیقی مراجعه کرده تا با سایر مجموعه های اعداد آشنا شوید. ما را از نظرات ارزشمند تان در مورد مقاله اعداد صحیح در قسمت کامنت ها بهره مند کنید.

بهترین آموزش درباره ی اعداد صحیح و ضرب و تقسیم و جمع و تفریق آنها

اعداد صحیح چه اعدادی هستند و چگونه نمایش داده می شوند؟

چطور دو عدد صحیح را مقایسه کنیم؟

قرینه یک عدد صحیح را چطور بدست آوریم؟

چطور اعداد صحیح را با هم جمع کنیم؟

چطور اعداد صحیح را از هم کم کنیم؟

نحوه محاسبه جمع و تفریق اعداد چند رقمی

چطور گسترده نویسی یک عدد صحیح را انجام دهیم؟

چطور دو عدد صحیح را با هم ضرب و تقسیم کنیم؟

ترتیب عملیات روی اعداد صحیح چیست؟

نکات پایانی درباره اعداد صحیح

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر