جامع ترین آموزش اعداد گنگ و رادیکالی

اعداد گنگ یا به انگلیسی $Irrational-Number$ اعداد حقیقی ای هستند که گویا نیستند و نمی توان آنها را به صورت اعداد گویا نوشت. اعداد گنگ شامل بخشی از اعداد اعشاری و بخشی از اعداد رادیکالی هستند. در این مقاله به تعریف اعداد گنگ می پردازیم. آن بخش از اعداد اعشاری که گنگ هستند را معرفی می کنیم و سپس با جزئیات زیادی به معرفی اعداد رادیکالی می پردازیم. در این مقاله جمع و تفریق اعداد رادیکالی تدریس می شود. همچنین به آموزش ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی پرداخته می شود. در نهایت مقایسه اعداد رادیکالی آموزش داده می شود.

اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟

اعداد گنگ اعدادی هستند که نمی توان آن ها را به صورت اعداد گویا نوشت. مثلا عدد $10.5$ را می توان به صورت $\frac{21}{2}$ نوشت. به طور کلی اعداد صحیح، طبیعی ، حسابی و اعداد اعشاری با قسمت اعشاری منظم را می توان بصورت گویا نوشت. اما اعداد اعشاری که قسمت اعشاری بیشمار و نامنظم دارند اعداد متعالی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به صورت گویا نوشت مثل عدد پی $\pi$ و عدد نپر $e$ .

عدد پی $\pi$ نسبت محیط دایره دلخواه به قطرش است. این عدد، مقداری بین دو کسر $3\frac{10}{70}$ و $3\frac{10}{71}$ دارد. همچنین از کسرهای زیر می توان مقدار تقریبی عدد پی $\pi$ را محاسبه کرد.

$\pi\cong\frac{22}{7}$

$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…$

یک دسته دیگر از اعداد گنگ اعداد رادیکالی هستند که ریشه کامل ندارند مثلا 16 ریشه دوم کامل دارد که برابر عدد 4 می باشد. یا عدد 125 ریشه سوم کامل دارد و عدد 5 ریشه سوم 125 است اما عدد 20 ریشه دوم کامل ندارد پس $\sqrt{20}$ گنگ است. اگر این اعداد رادیکالی را در ماشین حساب محاسبه کنیم می بینیم قسمت اعشاری نامنظم دارند. مثل $0.1001000010000001…$ یا $0.23598742668…$ .

توجه: عدد $\sqrt[a]{b}$ را بصورت ریشه $a$ ام $b$ می خوانیم. اگر در جایگاه عدد $a$ هیچ عددی نوشته نباشد به معنای این است که $a=2$ . مثلا $\sqrt{5}$ را می خوانیم ریشه دوم 5 یا جذر 5.

اعداد گنگ را با $\Bbb{Q}^{'}$ یا $\Bbb{Q}^{c}$ نشان می دهند. بین هر دو عدد گنگ بیشمار عدد گنگ وجود دارد. کمترین عدد گنگ و بیشترین عدد گنگ هیچ کدام مشخص نیستند.

اعداد گویا و گنگ هیچ عضو مشترکی ندارند. به اجتماع اعضای گنگ و گویا مجموعه اعداد حقیقی می گویند. در مبحث مجموعه ها این دو عبارت را بصورت $\Bbb{Q}^{'}\cap \Bbb{Q}=\phi \,\,\,,\,\,\, \Bbb{Q}^{'}\cup\Bbb{Q}=\Bbb{R}$ نشان می دهند.

ریشه گیری ، چطور ریشه دوم و سوم اعداد را بدست آوریم؟

در تساوی $4^{2}=16$ عدد 16 را توان دوم یا مجذور عدد 4 می گویند و عدد 4 را ریشه دوم یا جذر عدد 16 می نامند. عدد $-4$ هم ریشه دوم 16 است چون تساوی $(-4)^{2}=16$ هم برقرار است.

برای نمایش ریشه دوم از نماد $\sqrt{}$ ( بخوانید رادیکال ) استفاده می کنیم. ریشه های دوم 16 را با $\sqrt{16}$ و $-\sqrt{16}$ نشان می دهیم.

نکته : اگر $b$ یک عدد حقیقی مثبت باشد، $\sqrt{b}$ و $-\sqrt{b}$ را ریشه های دوم $b$ می نامند. اعداد منفی ریشه دوم ندارند. عدد صفر یک ریشه دوم دارد که خود صفر است.

نکته: اگر $b$ یک عدد حقیقی باشد، $\sqrt[3]{b}$ را ریشه سوم $b$ می نامند. هر عدد فقط یک ریشه سوم دارد.

اعداد رادیکالی گنگ هستند یا گویا؟

اعداد رادیکالی می توانند جواب کامل داشته باشند مثل $\sqrt{110.25}=10.5$ یا جواب کامل نداشته باشند و معادل با یک عدد اعشاری با قسمت اعشاری نامنظم باشند مثل $\sqrt{2}=1.4142135623730950488016887242097…$ . اعداد رادیکالی که جواب کامل دارند گویا می نامیم و اعداد رادیکالی که معادل اعداد اعشاری نامنظم باشند را گنگ می نامیم.

اعداد رادیکالی گویا مقدار مشخص و معینی دارند. اما اعداد رادیکالی گنگ مقدار دقیق شان نامشخص است بنابراین برای درک اینکه آنها در کجای محور اعدادند می توان از مقدار تقریبی شان استفاده کرد. چند عدد رادیکالی گنگ و مقدار تقریبی آنها را در زیر مشاهده می کنید:

$\sqrt{2}\cong1.4 \,,\,\,\sqrt{3}\cong1.7\,,\,\,\sqrt{5}\cong2.2$

$\sqrt{6}\cong2.4\,,\,\,\sqrt{7}\cong2.6\,,\,\,\sqrt{8}\cong2.8$

البته مقدار تقریبی اعداد رادیکالی گنگ را می توان با کمک ماشین حساب بدست آورد. همچنین دو راه دیگر برای فهمیدن مقدار تقریبی اعداد رادیکالی وجود دارد یکی اینکه ببینیم هر عدد رادیکالی بین کدام دو عدد صحیح است و یکی اینکه با کمک رابطه ی فیثاغورس محل آن عدد روی محور اعداد حقیقی مشخص شود. در ادامه به شرح هر کدام می پردازیم.

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد حقیقی (هر عدد رادیکالی گنگ بین کدام دو عدد صحیح متوالی است؟)

اعداد رادیکالی را می توان روی محور اعداد حقیقی نمایش داد برای این کار باید از فیثاغورث (توضیح در مقاله ی مثلث) کمک بگیریم. مثلا برای نمایش $\sqrt{2}$ روی محور اعداد، ابتدا باید عدد 2 را بصورت مجموع دو عدد مربع کامل بنویسیم $1^{2}+1^{2}=2$ حالا می توانیم یک مثلث قائم الزاویه به اضلاع قائمه 1 و 1 رسم کنیم در نتیجه وتر این مثلث برابر با $\sqrt{2}$ می شود. به شکل زیر توجه کنید تا متوجه شوید چطور نقطه مربوط به $\sqrt{2}$ را با کمان زدن روی محور پیدا می کنیم.

نکته مهم: اعداد رادیکالی را می توان روی محور اعداد حقیقی نمایش داد اما برخلاف اعداد صحیح نمی توان همه ی اعداد رادیکالی را یکجا روی محور اعداد حقیقی نمایش داد چون بین هر دو عدد گنگ که روی محور نشان دهیم قطعا بیشمار عدد گنگ و بیشمار عدد گویا وجود دارد.

مثال: اعداد رادیکالی $\sqrt{10}$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

جواب: برای پاسخ دادن به این سبک سوالات باید اعداد مربع کامل را بدانیم. در زیر چند عدد مربع کامل ( مجذور اعداد صفر تا 20) آورده شده است.

$0^{2}=0\,,\,\,1^{2}=1\,,\,\,2^{2}=4\,,\,\,3^{2}=9$

$4^{2}=16\,,\,\,5^{2}=25\,,\,\,6^{2}=36\,,\,\,7^{2}=49$

$8^{2}=64\,,\,\,9^{2}=81\,,\,\,10^{2}=100$

$11^{2}=121\,,\,\,12^{2}=144\,,\,\,13^{2}=169$

$14^{2}=196\,,\,\,15^{2}=225\,,\,\,16^{2}=256$

$17^{2}=289\,,\,\,18^{2}=324$

$19^{2}=361\,\,\,,\,\,\,20^{2}=400$

حالا برای اینکه بدانیم که $\sqrt{10}$ بین کدام دو عدد صحیح است ابتدا بررسی می کنیم که 10 بین کدام دو عدد مربع کامل است با توجه به اعداد بالا 10 بین 9 و 16 است بنابراین

$\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$

پس جواب سوال را می توان بصورت $3<\sqrt{10}<4$

n نوشت.

چطور یک عبارت رادیکالی را ساده کنیم؟

اعداد رادیکالی که مقدار زیر رادیکال آنها اعداد مرکب هستند را می توان ساده کرد. برای این کار این اعداد را به صورت حاصل ضرب اعداد اول می نویسیم و آنهایی که توان زوج دارند را از زیر رادیکال بیرون می آوریم به این ترتیب که توان آنها را نصف می کنیم. مثلا درعدد $\sqrt{12}$ می توانیم عدد 12 را به صورت $12=2^{2}\times3$ تجزیه کنیم. حالا کافی است به دستورالعمل بالا عمل کنیم داریم: $\sqrt{12}=2^{1}\sqrt{3}$ . یا در عدد $\sqrt{72}$ می توانیم عدد 72 را به صورت زیر تجزیه کنیم.

$72=2^{3}\times3^{2}=2\times2^{2}\times3^{2}$

حالا کافی است به دستورالعمل بالا عمل کنیم داریم:

$\sqrt{72}=2\times3\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

چطور اعداد رادیکالی را جمع و تفریق کنیم؟

برای اینکه بتوان دو عدد رادیکالی را جمع یا تفریق کرد باید قسمت رادیکالی یکسانی داشته باشند یا بتوان قسمت رادیکالی شان را یکسان کرد مثلا

$3\sqrt{5}+7\sqrt{5}=(3+7)\sqrt{5}=10\sqrt{5}$

اما اگر سوال بصورت $3\sqrt{15}+7\sqrt{5}$

باشد عبارت سوال را نمی توان ساده تر کرد.

مثال : حاصل جمع و تفریق های رادیکالی زیر را بدست آورید:

$7\sqrt{7}+14\sqrt{7}\,\,\,,\,\,\,3\sqrt{2}-2\sqrt{8}$

جواب:

همانطور که در مثال $7\sqrt{7}+14\sqrt{7}$ مشخص است وقتی اعداد زیر رادیکال یکسان باشند دو عبارت رادیکالی را می توان جمع یا تفریق کرد برای این کار کافی است که ضرایب رادیکال را با هم جمع یا تفریق کنیم و بعد رادیکال را جلوی حاصل بنویسیم.

$7\sqrt{7}+14\sqrt{7}=21\sqrt{7}$

گاهی بعضی از عبارات رادیکالی قسمت رادیکالی یکسان ندارند اما می توان قسمت رادیکالی آنها را یکسان کرد. در واقع عدد زیر رادیکالی را بصورت حاصل ضرب عدد مربع کامل در عدد غیر مربع کامل می نویسیم اگر دو رادیکال عدد غیرمربع کامل یکسانی داشته باشند در اینصورت می توان دو عدد را جمع یا تفریق کرد. در مثال $3\sqrt{2}-2\sqrt{8}$ عدد 2 را نمی توان بصورت حاصلضرب عدد مربع کامل بزرگتر از یک در عدد غیرمربع کامل نوشت اما 8 را می توان بصورت حاصل ضرب 4 که مربع کامل است در 2 که مربع کامل نیست نوشت حالا می بینیم که هر دو عدد قسمت غیر مربع کامل شان یکسان است پس می توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد. در نتیجه $2\sqrt{8}$ به $4\sqrt{2}$ تبدیل می شود و می توان آن را با توجه به صورت سوال با $3\sqrt{2}$ جمع یا تفریق کرد.

$3\sqrt{2}-2\sqrt{8}=$

$3\sqrt{2}-2\sqrt{4\times2}=$

$3\sqrt{2}-2\sqrt{4}\times\sqrt{2}=$

$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}$

مثال: حاصل عبارات زیر را بدست آورید.

$3\sqrt{7}-13\sqrt{7}\,\,\,,\,\,\,2\sqrt{8}-6\sqrt{3}$

جواب :

$3\sqrt{7}-13\sqrt{7}=(3-13)\sqrt{7}=-10\sqrt{7}$

$2\sqrt{8}-6\sqrt{3}=$

$2\sqrt{4\times2}-6\sqrt{3}=4\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

می بینیم که $4\sqrt{2}-6\sqrt{3}$ را نمی توان از این ساده تر نوشت.

چطور اعداد رادیکالی را ضرب و تقسیم کنیم؟

برای ضرب اعداد رادیکالی در هم باید اعداد پشت رادیکال را در هم ضرب کنیم و اعداد زیر رادیکال را نیز در هم ضرب کنیم. مثلا

$5\sqrt{7}\times3\sqrt{8}=(5\times3)\sqrt{7\times8}=15\sqrt{56}$

به همین ترتیب برای تقسیم هم باید دو عدد پشت رادیکال را تقسیم کنیم و اعداد زیر رادیکال را نیز تقسیم کنیم. مثلا

$20\sqrt{6}\div10\sqrt{3}=(20\div10)\sqrt{6\div3}=2\sqrt{2}$

چطور اعداد رادیکالی را مقایسه کنیم؟

برای مقایسه اعداد رادیکالی کافی است که حدس بزنیم آن اعداد حدودا چند هستند و بعد مقایسه را انجام دهیم. برای اینکه بتوانیم حدس بزنیم مانند آنچه که در بالاتر گفته شد باید متوجه شویم که آن عدد رادیکالی بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد. مثلا $\sqrt{17}$ بین 4 و 5 است پس حدودا برابر چهار و خورده هست در حالی که $\sqrt[3]{30}$ بین $\sqrt[3]{27}=3$ و $\sqrt[3]{64}=4$ است پس حدودا سه و خورده است پس می توان گفت:

$\sqrt[3]{30}<\sqrt{17}$

. به طور کلی داریم:

$n\in \Bbb{N}\,\,\,,\,\,\,0 < a < b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$

برای مقایسه ی ریشه های یک عدد ابتدا باید بررسی کنیم آن عدد در چه بازه ای قرار دارد:

$x < -1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\ x < \sqrt[3]{x} < \sqrt[5]{x} <…$

$-1 < x<0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\ x > \sqrt[3]{x} > \sqrt[5]{x} > …$

$0 < x < 1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\ x < \sqrt[2]{x} < \sqrt[3]{x} < …$

$x > 1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\ x > \sqrt[2]{x} > \sqrt[3]{x} >…$

جمع بندی

در این مقاله به معرفی هر دو دسته اعداد گنگ پرداختیم . سپیس عمل ریشه گیری و ریشه دوم و ریشه سوم اعداد حقیقی را بیان کردیم. سپس روش های بدست آوردن حدود اعداد رادیکالی را بیان کردیم. بعد به بیان نحوه محاسبه جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی پرداختیم. در نهایت نحوه مقایسه اعداد رادیکالی پرداختیم. امیدوارم با خواندن این مقاله اطلاعات جامعی از اعداد گنگ و رادیکالی بدست آورده باشید. اگر تمایل به یادگیری و مطالعه سایر اعداد علاقمندید به مقاله ی اعداد مراجعه کنید. لطفا ما را از نظرات ارزشمند تان درباره ی مقاله اعداد گنگ و رادیکالی در کامنت ها بهره مند کنید.

جامع ترین آموزش اعداد گنگ و رادیکالی

اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟

ریشه گیری ، چطور ریشه دوم و سوم اعداد را بدست آوریم؟

اعداد رادیکالی گنگ هستند یا گویا؟

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد حقیقی (هر عدد رادیکالی گنگ بین کدام دو عدد صحیح متوالی است؟)

چطور یک عبارت رادیکالی را ساده کنیم؟

چطور اعداد رادیکالی را جمع و تفریق کنیم؟

چطور اعداد رادیکالی را ضرب و تقسیم کنیم؟

چطور اعداد رادیکالی را مقایسه کنیم؟

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر