فرامث دات کام
حساب کاربری تو
برای ورود یا ثبت نام بیا اینجا
سبد خریدت اینجاست

جامع ترین آموزش در مورد اعداد گویا یا کسرها

اعداد گویا یا به انگلیسی Rational-Number یا همان کسر ها نسبت دو عدد صحیح  هستند. در این مقاله به معرفی کامل اعداد گویا  می پردازیم سپس سایر نمایش های اعداد گویا مانند نمایش اعشاری و عدد مخلوط را بیان می کنیم. در ادامه  نحوه بدست آوردن کسرهای مساوی با یک کسر دلخواه را بیان می کنیم. همچنین در این مقاله نحوه مقایسه کسرها و نحوه محاسبه جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد گویا را بیان می کنیم. در نهایت نحوه ساده کردن کسرها و نکاتی در مورد اعداد گویا بیان می شود. امیدواریم از خواندن این مقاله لذت ببرید و بهره مند شوید.

اعداد گویا یا کسرها چطور اعدادی هستند؟

اگر بخواهیم بخشی از یک چیز را بیان کنیم مثلا به زبان ریاضی بگوییم “از ده تا مهره 7 تاش قرمزه ” باید از کسر استفاده کنیم. نمی توانیم مانند اعداد صحیح همه ی اعضای اعداد گویا را بنویسیم. چون بین هر دو عدد گویا بیشمار عدد گویای دیگر وجود دارد. فقط باید بدانیم اعداد گویا در واقع نسبت دو عدد صحیح هستند. اعداد گویا را به صورت \Bbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b\in \Bbb{Z}\,\,,\,\,b\neq0\} نشان می دهند. بزرگترین عضو و کوچکترین عضو اعداد گویا مشخص نیست. در کسر \frac{a}{b}ئبه عدد a  صورت کسر و به عدد b  مخرج کسر می گویند. اعداد گویا خود زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی اند.

نکته: همه ی اعداد طبیعی و اعداد حسابی و اعداد صحیح را می توان بصورت گویا نوشت برای اینکار کافی است عددِ موردنظر را در صورت کسر نوشت و در مخرج عدد یک را قرار داد.

چطور اعداد گویا را به صورت عدد اعشاری  و عدد مخلوط نمایش دهیم؟

اعداد گویا را علاوه بر کسر، می توان به صورت عدد اعشاری و اگر بزرگتر از واحد باشد می توان به صورت عدد مخلوط هم نمایش داد. اعداد اعشاری خود یک مبحث مفصل است که برای آموختن در مورد آن می توانید به مقاله اعداد اعشاری مراجعه کنید.

*اعداد کسری ای که در آنها صورت کسر از مخرج کسر بزرگتر باشد کسرهای بزرگتر از واحد نام دارند.

*اعداد کسری ای که صورت و مخرج شان با هم برابر است کسر واحد نام دارند.

* اعداد کسری ای که صورت آن ها از مخرج شان کوچکتر باشد کسر کوچکتر از واحد نام دارند.

**یک راه برای نمایش کسرهای بزرگتر از واحد، عدد مخلوط است. برای تبدیل کسر به عدد مخلوط ابتدا علامت کسر را در نظر نمی گیریم و کسر را مثبت فرض می کنیم بعد باید صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم کنیم در اینصورت خارج قسمت، قسمت صحیحِ عدد مخلوط و باقیمانده صورت کسر ِ جدید می باشند. مخرج کسر نیز مشابه کسر اصلی است. حالا اگر کسر علامت منفی داشت پشت عدد مخلوط قرار می دهیم.

تبدیل کسر به عدد مخلوط

چطور عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم؟

**برای تبدیل عدد مخلوط به کسر ابتدا علامتِ عدد مخلوط را نادیده می گیریم بعد قسمت صحیح را در مخرج ضرب می کنیم بعد حاصل ضرب را با صورت کسر جمع می کنیم حاصل جمع را در صورت کسر جدید می نویسیم و مخرج کسر جدید همان مخرج عدد مخلوط است. بعد از این عملیات، علامت عدد مخلوط را پشت کسر جدید قرار می دهیم.

تبدیل عدد مخلوط به کسر

برای متوجه شدن این تبدیل ها به مثالهای زیر توجه کنید.

    \[3\frac{5}{8}=\frac{3\times8+5}{8}=\frac{29}{8}\]

    \[-2\frac{3}{7}=\frac{-(2\times7+3)}{7}=\frac{-17}{7}\]

چطور کسرهای مساوی با یک کسر یا عدد گویا را بنویسیم؟

برای اینکه دو عدد گویا (کسر)  با هم برابر باشند باید صورت و مخرج  یک کسر هر دو در یک عدد غیر صفر ضرب شده باشند و به کسر دیگر تبدیل شده باشند مثلا \frac{-2}{-4} با کسر \frac{1}{2} برابر است چون اگر صورت و مخرج \frac{1}{2}  را در عدد -2 ضرب کنیم به کسر \frac{-2}{-4} می رسیم. اما دو کسر \frac{1}{2} و \frac{-3}{6} با هم برابر نیستند چون صورت کسرِ  \frac{1}{2} در عدد -3 و مخرج کسر \frac{1}{2} در عدد 3 ضرب شده اند تا به عدد \frac{-3}{6} برسیم. چون صورت و مخرج هر دو در عدد مشابه ضرب نشده اند بنابراین \frac{1}{2}\neq\frac{-3}{6}. بنابراین تنها با همین شرط یعنی ضرب صورت و مخرج یک کسر در عدد یکسانِ غیر صفر می توان برای هر کسر بیشمار کسر مساوی نوشت.  

مثال: به تساوی و ناتساوی زیر توجه کنید.

    \[\frac{2}{3}=\frac{2\times15}{3\times15}=\frac{30}{45}\]

    \[\frac{1}{4}\neq \frac{20}{60}=\frac{1\times20}{4\times15}\]

چطور دو کسر یا عدد گویا را مقایسه کنیم؟

برای مقایسه دو عدد گویا باید برای دو کسر مخرج مشترک بگیریم. برای مخرج مشترک گرفتن باید صورت و مخرج یک کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می کنیم؛ برای کسر دوم هم این کار را تکرار می کنیم. اگر دو کسر مخرج های برابر داشته باشند کسری بزرگتر است که صورت بزرگتری داشته باشد. اگر دو کسر صورت های برابر داشته باشد کسری بزرگتر است که مخرج کوچکتری داشته باشد. اگر سوال بصورت عدد مخلوط بود راه ساده تر این است که عدد مخلوط ها را به کسر تبدیل کنیم.

نکته : چون \frac{6}{14}=\frac{3\times2}{7\times2}=\frac{3}{7} پس هر دو عبارت \frac{3}{7}\ge\frac{6}{14} و  \frac{3}{7}\le\frac{6}{14} برقرارند.

چطور اعداد گویا را جمع یا تفریق کنیم؟

برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا باید بین دو کسر به روشی که در بخش قبل گفته شد مخرج مشترک بگیریم. سپس جمع یا تفریق را برای صورت کسرها انجام می دهیم و بعد مخرج را می نویسیم. اگر سوال بصورت عدد مخلوط بود راه ساده تر این است که عدد مخلوط ها را به کسر تبدیل کنیم.

به مثال های زیر توجه کنید.

    \[\frac{3}{7}-\frac{7}{9}=\frac{3\times9}{7\times9}-\frac{7\times7}{9\times7}\]

    \[=\frac{27}{63}-\frac{49}{63}=\frac{-22}{63}\]

 

    \[\frac{1}{3}+4=\frac{1}{3}+\frac{4}{1}=\frac{1\times1}{3\times1}+\frac{4\times3}{1\times3}\]

    \[=\frac{1}{3}+\frac{12}{3}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}\]

چطور اعداد گویا را ضرب یا تقسیم کنیم؟

برای ضرب اعداد گویا صورت کسرها را در هم ضرب می کنیم و حاصل را در صورت کسر جواب می نویسیم. مخرج کسرها را در هم ضرب می کنیم و حاصل را در مخرج جواب می نویسیم. برای تقسیم دو کسر، کسر اول را می نویسیم و آن را در معکوس کسر دوم ضرب می کنیم.

نکته: برای بدست آوردن معکوس یک کسر باید جای صورت و مخرج را عوض کنیم. اگر معکوس عدد مخلوط را خواستند ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل می کنیم و بعد جای صورت و مخرج آن را عوض می کنیم در نتیجه معکوس عدد مخلوط بدست می آید.

به مثال های زیر توجه کنید.

    \[\frac{2}{7}\times\frac{31}{8}=\frac{62}{56}\]

    \[5\div\frac{9}{7}=\frac{5}{1}\div\frac{9}{7}=\frac{5}{1}\times\frac{7}{9}=\frac{35}{9}\]

چطور یک کسر را ساده کنیم؟

برای ساده کردن یک کسر می توان صورت و مخرج کسر را به صورت حاصل ضرب شمارنده های اولشان نوشت (برای مطالعه در مورد شمارنده ها و اعداد اول به مقاله اعداد اول مراجعه کنید)  و سپس شمارنده های یکسان در صورت و مخرج را حذف کرد. برای مثال برای ساده کردن کسر \frac{27}{33} باید ابتدا 27 و 33 را به عوامل اولش تجزیه کرد:  27=3\times9=3\times3\times3\,\,\,,\,\,\,33=3\times11

حالا کسر را بصورت زیر می نویسیم:

    \[\frac{27}{33}=\frac{3\times3\times3}{3\times11}=\frac{3}{3}\times\frac{3\times3}{11}=\frac{9}{11}\]

بنابراین کسر ساده شده ی \frac{27}{33} برابر\frac{9}{11}  است.

نکاتی درباره اعداد گویا

نکات پایانی در مورد اعداد گویا

  • صفر تنها عددی است که معکوس ندارد چون کسر با مخرج صفر معنی ندارد.
  • اگر a\,\,\,,\,\,\,b\,\,\,,\,\,\,c\,\,\,,\,\,\,d اعداد حقیقی مثبت باشند و  \frac{a}{b} < \frac{c}{d} باشد برای اینکه کسر بین این دو کسر را بدست آوریم می توانیم از رابطه ی   \frac{a+c}{b+d} استفاده کنیم تا نامساوی  \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} برقرار باشد.
  •  برای محاسبه حاصل یک عبارت شامل اعداد گویا و چهار عمل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم باید به ترتیب ِ عمل ریاضی توجه کنید: اول ضرب و تقسیم را انجام دهید و بعد جمع و تفریق. بین ضرب و تقسیم عملی که زودتر آمد را زودتر محاسبه کنید. بین جمع و تفریق عملی که زودتر آمد را زودتر محاسبه کنید. توجه کنید که اگر در عبارت پرانتز بود اول عبارت داخل پرانتز را حل کنید سپس بقیه محاسبات را انجام دهید.

مثال : عبارت زیر را محاسبه کنید.

    \[\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\div\frac{3}{14}\times\frac{5}{3}-\frac{2}{9}\times\frac{3}{4}+(\frac{5}{8}-\frac{6}{7}\div\frac{27}{21})\]

    \[=\frac{2}{5}+\frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{14}}\times\frac{5}{3}-(\frac{2}{9}\times\frac{3}{4})+(\frac{5}{8}-\frac{6}{7}\times\frac{21}{27})\]

    \[=\frac{2}{5}+\frac{1\times 14}{7\times3}\times\frac{5}{3}-\frac{2\times 3}{9\times 4}+(\frac{5}{8}-(\frac{6}{7}\times\frac{21}{27}))\]

    \[=\frac{2}{5}+(\frac{2}{3})\times\frac{5}{3}-\frac{6}{36}+(\frac{5}{8}-(\frac{2}{3}))\]

    \[=\frac{2}{5}+(\frac{2}{3}\times\frac{5}{3})-\frac{1}{6}+(\frac{5}{8}-\frac{2}{3})\]

    \[=\frac{2}{5}+(\frac{10}{9})-\frac{1}{6}+(\frac{-1}{24})\]

    \[=\frac{144+400-60-15}{360}=\frac{469}{360}\]

جمع بندی

در این مقاله به معرفی کسرها یا همان اعداد گویا پرداختیم. نمایش اعداد گویا می تواند به صورت اعشاری و عدد مخلوط هم باشد. بعد از آن نحوه نوشتن کسرهای مساوی با یک کسر را بیان کردیم. نحوه محاسبه جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد گویا و نحوه ساده کردن کسرها با کمک اعداد اول هم در این مقاله با مثال بیان شده است. در نهایت با بیان نکاتی در مورد اعداد گویا و ذکر مثال هایی در مورد هر نکته به این مقاله پایان دادیم. اگر به مطالعه در مورد سایر اعداد علاقمندید لطفا به مطالعه مقاله ی اعداد  بپردازید. امیدواریم خواندن این مقاله برای شما مفید واقع شده باشد . لطفا ما را از نظرات خود در مورد مقاله اعداد گویا در قسمت کامنت ها بهره مند کنید.

2 پاسخ

  1. خیلی این قسمت برای بچه های دبستان سخته اما همه می گن مهمه الان خودم با این مقاله یاد گرفتم برم به پسرم یاد بدم مرسی ازتون الان دیگه مجبوریم بخاطر بچه ها از اول درس بخونیم

    پاسخ

    1. شما مادر خوبی هستید بهتون تبریک می گم. خوشحالم سایت مون براتون مفید بوده

      پاسخ

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

آخرین مطالب وبلاگ

دوره ها

دوره جبر معادله تابع فرامث

دسترسی سریع

دوره ها
آموزش های رایگان
درباره فرامث
تماس با فرامث
حریم خصوصی
قوانین سایت

دسترسی سریع

دوره ها
آموزش های رایگان
درباره فرامث
تماس با فرامث
حریم خصوصی
قوانین سایت

مقالات مادر

اعداد
جبر
مثلثات
دیفرانسیل
آمار
احتمال
هندسه
گسسته
دروازه پرداخت معتبر