تمام نکات و اطلاعات لازم برای ترکیبیات کنکور

ترکیبیات شامل اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت و ترکیب می باشد. و باعث می شود بدون نیاز به شمردن حالات و تعداد انتخاب های ممکن را بدون اینکه واقعا آنها را بشماریم، بشماریم! جالبه بدون اینکه بشماریم تعدادشون رو می فهمیم. به همین علت به ترکیبیات علم شمردن بدون شمردن هم می گویند. در این مقاله علاوه بر عناوین اصلی ترکیبیات به آموزش مربع لاتین، اصل لانه کبوتری، اصل شمول و عدم شمول هم می پردازیم. اگر به نکات جامعی از ترکیبیات نیاز دارید این مقاله را از دست ندهید.

اصل جمع چیست؟

اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد ، به طوری که در روش اول $m$ انتخاب و در روش دوم $n$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار مورد نظر $m+n$ روش وجود دارد. توجه کنید نهایتا قرار است کار مورد نظر فقط با یکی از شیوه ها انجام شود.

به طور کلی اگر بتوان عملی را به $m$ طریق و عمل دیگری را به $n$ طریق انجام داد و این دو عمل را نتوان با هم انجام داد در این صورت به $m+n$ طریق می توان عمل اول “یا” عمل دوم را انجام داد. اصل جمع به بیش از دو عمل هم قابل تعمیم است:

تعمیم اصل جمع

اگر کاری را بتوان به $k$ روش انجام داد، به طوری که در روش اول $m_{1}$ انتخاب و در روش دوم $m_{2}$ انتخاب ، … و در روش $k$ ام $m_{k}$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار مورد نظر $m_{1}+m_{2}+…+m_{k}$ روش وجود دارد.

اصل ضرب چیست؟

اگر انجام کاری شامل دو مرحله باشد، به طوری که برای انجام مرحله اول $m$ روش ، و برای هر کدام از این $m$ روش، مرحله دوم را بتوان به $n$ روش انجام داد، در کل کار مورد نظر با $m \times n$ روش قابل انجام است. توجه کنید هر دو مرحله باید انجام پذیرد.

به طور کلی اگر عملی طی دو مرحله اول و دوم انجام پذیرد، طوری که در مرحله اول به $m$ طریق “و” در مرحله دوم هر کدام از $m$ طریق به $n$ روش قابل انجام باشند. در کل آن عمل به $m \times n$ طریق انجام پذیر است. اصل ضرب قابل تعمیم به بیشتر از دو مرحله است:

تعمیم اصل ضرب

اگر انجام کاری شامل $k$ مرحله باشد، به طوری که برای انجام مرحله اول $m_{1}$ روش، و برای انجام مرحله دوم $m_{2}$ روش، … و برای انجام مرحله $k$ ام $m_{k}$ روش وجود داشته باشد (با فرض اینکه در هر مرحله انتخاب تمام روش های آن ممکن باشد)، کار مورد نظر با $m_{1}\times m_{2}\times …\times m_{k}$ روش قابل انجام است.

نماد فاکتوریل

برای ضرب یک عدد طبیعی بزرگتر از یک در تمام اعداد طبیعی قبل از خودش از نماد فاکتوریل $(!)$ استفاده می کنیم.

قرارداد : برای اعداد صفر و یک، فاکتوریل را به صورت $0!=1\,\,,\,\,1!=1$ تعریف می کنیم.

اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد، حاصل ضرب اعداد طبیعی و متوالی از 1 تا $n$ را به صورت $n!$ ( $n$ فاکتوریل) نمایش می دهیم.

جایگشت

هر حالت از کنار هم قرار گرفتن $n$ شی متمایز را یک جایگشت $n$ تایی از آن $n$ شی می نامیم. تعداد این جایگشت ها برابر است با $n!$ .

اگر چند شی متمایز داشته باشیم به هر حالتِ چیدن ِ آنها کنار هم ، یک جایگشت از آن اشیا می گوییم.

تعداد جایگشت های $n$ شی متمایز برابر است با $n!$ .

تعداد جایگشت های $r$ تایی از $n$ شی متمایز یا به عبارتی تعداد انتخاب های $r$ شی از بین $n$ شی متمایز را که در آنها ترتیب قرار گرفتن مهم باشد با نماد $P(n,r)$ یا $(n)_{r}$ نمایش می دهیم و مقدار آن از دستور زیر محاسبه می کنیم:

$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

تعداد توابع

نکته : اگر بخواهیم از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ تابع $f$ را بصورت پوشا (یعنی برد تابع شامل همه ی اعضای $B$ باشد) تعریف کنیم ، تعداد کل توابعی که می توان بصورت پوشا تعریف کرد برابر است با:

$|B|^{|A|}$

تذکر: تعداد توابعی جون $f:A \rightarrow B$ با فرض $|A|+m \ge 3$ و $|B|=3$ از رابطه زیر بدست می آید:

$3^{m}-(3 \times 2^{m}-3)$

در حالت کلی اگر $|A|=m$ و $|B|=k$ در اینصورت با شرط $m \le k$ تعداد توابع یک به یک از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ برابر است با انتخاب $m$ شی از بین $k$ شی یا

$(k)_{m}=\frac{k!}{(k-m)!}$

جایگشت های با تکرار

گاهی اوقات چند شیء تکراری یا یکسان در بین اشیا یافت می شود. در این حالت تعداد جایگشتهای این اشیا با تعداد جایگشتها در حالتی که هیچ دو شیء یکسانی در بین اشیا نباشد، متفاوت بوده و به نظر می رسد کمتر باشد.

هرگاه $n$ شی مفروض باشند و در بین آنها $k$ شی تکراری یا مشابه وجود داشته باشد برای محاسبه تعداد جایگشت های این $n$ شی ابتدا آنها را متمایز فرض کرده و جایگشت های آنها را حساب می کنیم و سپس حاصل را بر جایگشت های اشیای تکراری تقسیم می کنیم یعنی این تعداد برابر است با

$\frac{n!}{k!}$

قضیه جایگشت با تکرار: اگر $n$ شی مفروض باشند به طوری که $n_{1}$ تای آنها از نوع اول و یکسان و $n_{2}$ تای آنها از نوع دوم و یکسان و … و $n_{k}$ تای آنها از نوع $k$ ام و یکسان باشند در این صورت تعداد کل جایگشت های این اشیا برابر است با:

$\frac{n!}{n_{1}!\times n_{2}! \times ….\times n_{k}!}$

نکته: تعداد جواب های صحیح و نامنفی معادله $x_{1}+x_{2}+…+x_{k}=n$ برابر است با تعداد انتخاب های دلخواه $n$ شاخه گل از بین $k$ نوع گل یعنی برابر

$\begin{pmatrix} n+k-1 \\ k-1 \end{pmatrix}$

ترکیب

انتخاب $r$ شی از $n$ شی که در آن جابجایی اشیا انتخاب شده اهمیت ندارد. (به عبارتی جابجایی اشیا انتخاب شده پس از انتخاب حالت جدیدی تولید نکرده و ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد). تعداد این انتخاب ها را با نماد $C_{r}^{n}=\begin{pmatrix}n \\ r\end{pmatrix}$ نمایش می دهیم و با دستور زیر محاسبه می کنیم:

$C_{r}^{n}=\begin{pmatrix}n \\ r\end{pmatrix}=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

به هر انتخاب $r$ شی از $n$ شی متمایز که در آن ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد یا به عبارتی به هر زیرمجموعه $r$ عضوی از یک مجموعه $n$ عضوی، یک ترکیب $r$ تایی از $n$ شی می گوییم. تعداد ترکیب های $r$ تایی از $n$ شی متمایز را (که ترتیب انتخاب در آنها مهم نیست) معمولا با $C_{r}^{n}$ یا \begin{pmatrix}n \\ r\end{pmatrix} نمایش می دهیم و داریم:

$\begin{pmatrix}n \\ r\end{pmatrix}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,0 \le r \le n$

مربع های لاتین

تعریف: یک جدول مربعی از اعداد ِ $1,2,…,n$ به شکل یک مربع $n \times n$ را که سطرها و ستون های آن با اعداد $1,2,…,n$ پر شده باشد و در هیچ سطر آن و نیز در هیچ ستون آن عدد تکراری وجود نداشته باشد ، مربع لاتین می نامیم و به هر یک از اعداد درون مربع لاتین یک درایه می گوییم.

مربع لاتین چرخشی

نکته: برای هر عدد طبیعی مانند $n$ ، مربع لاتین $n \times n$ وجود دارد.

دو مربع لاتین متعامد

تعریف: فرض کنید $A$ و $B$ دو مربع لاتین هم مرتبه باشند به طوری که از کنار هم قرار دادن درایه های نظیر از این دو مربع، مربع جدیدی از همان مرتبه حاصل شود که هر خانه آن حاوی یک عدد دو رقمی است که تمام رقمهای سمت چپ مربوط به مربع $A$ و تمام رقمهای سمت راست مربوط به مربع $B$ ( و یا برعکس ) است. در این صورت گوییم دو مربع لاتین $A$ و $B$ متعامدند هرگاه هیچ یک از اعداد دو رقمی موجود در خانه های مربع جدید تکرار نشده باشند.

نکته : اگر $A$ و $B$ متعامد باشند و $B_{2}$ جایگشت اعضای $B$ باشد آنگاه $A$ و $B_{2}$ هم متعامدند.

اصل شمول و عدم شمول

محاسبه تعداد اعضای $(A \cup B)$ یعنی $|A \cup B|$ : چون اعضای $(A \cup B)$ هم در $A$ و هم در $B$ هستند اگر اعضای $A$ و $B$ را روی هم حساب کنیم اعضای $(A \cap B)$ دو بار محاسبه شده اند و می بایست یک بار از این مجموع کم شود لذا خواهیم داشت:

$|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$

این تساوی به اصول شمول و عدم شمول برای دو مجموعه معروف است. برای اختصار به آن اصل شمول می گوییم.

با توجه به تعریف متمم اگر $S$ مجموعه مرجع $A$ و $B$ باشد داریم :

$|(A \cup B)^{'}|=|\overline{A\cup B}|=|S|-|A \cup B|$

این تساوی نتیجه اصل عدم شمول است.

اصل شمول برای سه مجموعه: اگر $A$ و $B$ و $C$ زیرمجموعه هایی از مجموعه مرجع $S$ باشند در این صورت همواره تساوب زیر (اصل شمول) برقرار است:

$|A\cup B \cup C|=$

$|A|+|B|+|C|+$

$-|A \cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+$

$+|A \cap B \cap C|$

با استفاده از تعریف متمم نتیجه اصل شمول نیز بصورت زیر بیان می شود:

$|\overline{A\cup B \cup C}|=|S|-|A \cup B \cup C|$

نکته : تعداد اعداد از 1 تا $n$ که بر $k$ بخشپذیرند برابر $[\frac{n}{k}]$

نکته: مجموعه اعدادی که بر $a$ و بر $b$ بخش پذیرند با مجموعه اعدادی که بر ک م م آن دو عدد یعنی $[a,b]$ بخش پذیرند برابر است.

اصل لانه کبوتری

اگر $m$ کبوتر و $n$ لانه داشته باشیم و $m > n$ و همه ی کبوتر ها درون لانه ها قرار بگیرند در این صورت لانه ای وجود دارد که حداقل 2 کبوتر در آن قرار گرفته است.

نکته: در بین هر $n+1$ عدد طبیعی دلخواه و بیشتر همواره حداقل دو عدد یافت می شوند که تفاضل آنها بر $n$ بخش پذیر باشد یعنی به پیمانه $n$ هم نهشت باشند.

تعمیم اصل لانه کبوتری: هرگاه $kn+1$ کبوتر یا بیشتر در $n$ لانه قرار بگیرند در این صورت لانه ای وجود دارد که حداقل $k+1$ کبوتر در آن قرار گرفته باشد.

جمع بندی

در این مقاله به آموزش اصل جمع و اصل ضرب پرداختیم در ادامه فاکتوریل جایگشت و ترکیب را بیان کردیم. مربع لاتین چرخشی و متعامد را در این مقاله بیان کردیم و در نهایت با بیان اصل شمول و عدم شمول و لانه کبوتر این مقاله را به پایان رساندیم. اگر علاقمند به یادگیری آمار ، احتمال، مجموعه هستید لطفا به مقاله هر کدام مراجعه کنید. امیدواریم نکات بیان شده در مقاله ترکیبیات برایتان مفید واقع شده باشد. لطفا ما را از نظرات خود در قسمت کامنت ها بهره مند کنید.

تمام نکات و اطلاعات لازم برای ترکیبیات کنکور

اصل جمع چیست؟

اصل ضرب چیست؟

نماد فاکتوریل

جایگشت

تعداد توابع

جایگشت های با تکرار

ترکیب

مربع های لاتین

اصل شمول و عدم شمول

اصل لانه کبوتری

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر