هرآنچه باید درمورد انحراف معیار ضریب تغییرات واریانس و دامنه میان چارکی بدانید

شاخص های پراکندگی شامل دامنه تغییرات، انحراف معیار، واریانس، ضریب تغییرات و دامنه میان چارکی می باشد. این موارد از شاخص های پراکندگی در این مقاله آموزش داده شده اند این شاخص ها میزان پراکندگی داده های یک گزارش را بیان می کنند. در حالی که شاخص های مرکزی به ما می گویند که داده ها روی چه مقداری تمرکز دارند. در این مقاله به تعریف هر کدام و معرفی فرمول هایی برای محاسبه هر کدام پرداختیم.

معیارها یا شاخص های پراکندگی

شاخص پراکندگی میزان پراکندگی یا تغییراتی که در بین داده های یک توزیع وجود دارد را نشان می دهد و برای توصیف پراکندگی داده ها که به صورت کمی مطرح می شوند ضروری هستند. در ادامه به معرفی شاخص های پراکندگی می پردازیم.

دامنه ی تغییرات یکی از شاخص های پراکندگی چگونه بدست می آید؟

به فاصله ی بین کمترین داده و بیشترین داده دامنه ی تغییرات می گویند. دامنه تغییرات را با $R$ نشان می دهیم.

در داده های فرضی 5 و 5 و 8 و 8 و 8 و 11 و 11 دامنه تغییرات به صورت زیر بدست می آید:

گام اول: بیشترین داده و کمترین داده را بدست می آوریم: $\max=11\,\,,\,\,\min=5$

گام دوم: این دو مقدار را از هم کم می کنیم تا دامنه تغییرات بدست آید.

$R=\max -\min=11-5=6$

انجراف معیار و واریانس: این شاخص های پراکندگی چگونه بدست می آیند؟

یک معیار معمول در آمار برای سنجش میزان پراکندگی که نشان دهنده ی تغییرات داده های مورد مطالعه نسبت به میانگین (این شاخص یکی از شاخص های مرکزی است) آنهاست، انحراف معیار می باشد.

انحراف معیار به صورت زیر محاسبه می شود: اگر $n$ داده ی $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ داشته باشیم، انحراف آن داده ها را با نماد $\sigma$ (بخوانید سیگما) نمایش می دهیم که به صورت زیر محاسبه می شود:

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n}}=$

$\sqrt{\frac{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}}$

که در آن $x_{i}-\overline{x}$ را انحراف داده $i$ ام از میانگین داده ها می گویند.

واریانس داده ها: توان دوم انحراف معیار داده ها را واریانس داده ها گویند و آن را با نماد $\sigma^{2}$ نشان می دهند.

$\sigma^{2}=$

$\frac{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}$

اگر داده $x_{i}$ فراوانی $f_{i}$ داشته باشد انحراف معیار و واریانس به صورت زیر بدست می آیند:

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n}}=$

$\sqrt{\frac{f_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+f_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+f_{n}(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}}$

$\sigma^{2}=$

$\frac{f_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+f_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+f_{n}(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}$

چطور با کمک انحراف معیار و میانگین محدوده ی داده ها را بدست آوریم؟

با کمک انحراف معیار می توان فهمید که بیشتر داده ها در چه بازه ای از اعداد قرار دارند. مثلا:

تقریبا 99.9 درصد از داده ها در فاصله سه انحراف معیار از میانگین هستند. یعنی 99.9 درصد داده ها در فاصله $(\overline{x}-3\sigma,\overline{x}+3\sigma)$ قرار دارند.

تقریبا 96 درصد از داده ها در فاصله دو انحراف معیار از میانگین هستند. یعنی 96 درصد داده ها در فاصله $(\overline{x}-2\sigma,\overline{x}+2\sigma)$ قرار دارند.

تقریبا 68 درصد از داده ها در فاصله یک انحراف معیار از میانگین هستند. یعنی 68 درصد داده ها در فاصله $(\overline{x}-\sigma,\overline{x}+\sigma)$ قرار دارند.

جمع و ضرب داده ها در مقداری مشخص چه تغییری در واریانس و انحراف معیار ایجاد می کند؟

*اگر انحراف معیار داده های $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ برابر $\sigma$ باشد انحراف معیار داده های $ax_{1}+b,ax_{2}+b, … , ax_{n}+b$ برابر $a\sigma$ است.

*اگر واریانس داده های $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ برابر $\sigma^{2}$ باشد واریانس داده های $ax_{1}+b,ax_{2}+b, … , ax_{n}+b$ برابر $a^{2}\sigma^{2}$ است.

چه نکاتی را باید در مورد انحراف معیار و واریانس بدانم؟

اگر انحراف معیار مجموعه داده ها عدد کوچکی باشد، بدین معناست که پراکندگی داده ها حول میانگین شان کم بوده و درنتیجه داده ها به هم نزدیکتر است و اگر انحراف معیار مجموعه داده ها عددی بزرگ باشد، بدین معناست که پراکندگی داده ها حول میانگین شان زیاد و درنتیجه داده ها از هم دورتر است.

*اگر داده ها با هم برابر باشند انحراف معیار و واریانس شان برابر با صفر است.

مثال: در داده های فرضی 5 و 5 و 8 و 8 و8 و 11 و 11 انحراف معیار و واریانس داده ها را بدست آورید.

جواب: ابتدا باید میانگین داده ها را بدست آوریم که با توجه به آنچه در مقاله شاخص مرکزی بخش میانگین خواندیم این مقدار برابر با 8 است.

حالا باید مقدار کسر $\frac{f_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+f_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+f_{n}(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}$ را بدست آوریم می دانیم تعداد داده ها 7 تا است بنابراین $n=20$ حالا داده ها و مقدار میانگین شان را در این کسر جای گذاری می کنیم:

$\sigma^{2}=\frac{2(5-8)^{2}+ 3(8-8)^{2}+2(8-11)^{2}}{7}$

$\rightarrow \sigma^{2}=5.14$

$\sigma=\sqrt{5.14}=2.26$

ضریب تغییرات مجموعه ای از داده ها چگونه بدست می آید؟

ضریب تغییرات داده ها معیاری است که از تقسیم انحراف معیار داده ها به میانگین داده ها بدست می آید و آن را با نماد $CV$ نشان می دهند.

$CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}$

هر چه ضریب تغییرات کمتر باشد میزان پراکندگی داده ها کمتر خواهد شده که این موضوع برای ما مطلوب است. برای اینکه عملکرد دو گروه را بررسی کنیم از ضریب تغییرات استفاده می کنیم.

مثال: در داده های فرضی 5 و 5 و 8 و 8 و 8 و 11 و 11 ضریب تغییرات این داده ها را بدست آورید.

جواب: ابتدا باید میانگین داده ها را بدست آوریم که با توجه به آنچه در مقاله شاخص مرکزی بخش میانگین خواندیم این مقدار برابر با 8 است. بعد باید انحراف معیار را بدست آوریم که در بخش قبل برابر با 2.26 بدست آمد بنابراین ضریب تغییرات این داده ها برابر است با:

$CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}=\frac{2.26}{8}=0.2825$

دامنه میان چارکی یک شاخص پراکندگی

یکی دیگر از معیارهای پراکندگی دامنه میان چارکی می نامیم و با $IQR$ نشان می دهیم اگر داده ها را به ترتیب مرتب کنیم. یک چهارم داده ها قبل از چارک اول و دو چهارم داده ها قبل از چارک دوم یا همان میانه وسه چهارم داده ها قبل از چارک سوم هستند. در واقع اگر بعد از تعیین میانه برای نیمه اول داده ها یک میانه انتخاب کنیم آن همان چارک اول است و اگر برای نیمه دوم داده ها یک میانه انتخاب کنیم آن همان چارک سوم است. چارک اول دوم و سوم به ترتیب با $Q_{1}$ و $Q_{2}$ و $Q_{3}$ نشان داده می شوند. به $Q_{3}-Q_{1}$ دامنه میان چارکی می گویند و با $IQR$ نشان می دهند.

*معیار پراکندگی که معمولا با میانه بیان می شود دامنه میان چارکی است.

*میانه و دامنه میان چارکی اطلاعات سریعی در مورد داده ها بدون نیاز به هرگونه محاسبات می دهند.

*نصف داده ها بین چارک اول و سوم قرار دارند.

مثال: دامنه میان چارکی داده های فرضی 5 و 5 و 7 و 8 و 9 و 10 و 10 و 10 و 12 و 13 و 14 و 14 و 14 و 15 و 15 و 17 و 18 و 19 و 20 و 20 را بدست آورید.

جواب: برای اینکه دامنه میان چارکی را بدست آوریم باید طبق آنچه که در مقاله شاخص مرکزی خواندیم چارک اول و سوم را بدست آوریم. که چارک اول برابر با 9.5 و چارک سوم برابر با 16 می باشد.

$IQR=Q_{3}-Q_{1}=16-9.5=6.5$

بنابراین دامنه میان چارکی 9.5 می باشد.

انحراف معیار میانگین چگونه بدست می آید؟

انحراف معیار میانگین برابر با انحراف معیار جامعه تقسیم بر جذر اندازه نمونه است

$\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

هرچند که انحراف معیار جامعه معمولا معلوم نیست، ولی این رابطه حدس ما را اثبات کرده است. با افزایش اندازه نمونه انحراف معیار برآورد کاهش می یابد. به عبارتی دیگر برآورد دقیق تر یا خطای کمتری برای برآورد میانگین جامعه داریم.

برآورد بازه ای یا بازه اطمینان چکونه بدست می آید؟

پارامتر جامعه (یکی از اصطلاحات آماری) عبارت است از بازه ای عددی برای پارامتر به همراه یک درصد اطمینان که به ضریب اطمینان $Confidence-Coefficient$ شهرت دارد.

برآورد بازه ای برای میانگین جامعه: اگر نمونه ای تصادفی به اندازه $n$ در اختیار داشته باشیم با اطمینان بیش از 95 درصد می توانیم بگوییم

$\frac{\overline{x}-2\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \frac{\overline{x}+2\sigma}{\sqrt{n}}$

که $\mu$ میانگین جامعه و $\sigma$ انحراف معیار جامعه است.

فرمول های مربوط به شاخص های پراکندگی را می توانید در جدول زیر ببینید:

جمع بندی

در این مقاله شاخص های پراکندگی از جمله انحراف معیار واریانس دامنه تغییرات دامنه میان چارکی و ضریب تغییرات آموزش داده شده است. اگر علاقمند به یادگیری مطالبی در مورد شاخص های مرکزی، جدول فراوانی و نمودارهای آماری و اصطلاحات آماری هستید لطفا به مقالات مربوطه مراجعه کنید. لطفا ما را از نظرات تان در مورد مقاله شاخص های پراکندگی در قسمت کامنت ها بهره مند کنید.

هرآنچه باید درمورد انحراف معیار ضریب تغییرات واریانس و دامنه میان چارکی بدانید

معیارها یا شاخص های پراکندگی

دامنه ی تغییرات یکی از شاخص های پراکندگی چگونه بدست می آید؟

انجراف معیار و واریانس: این شاخص های پراکندگی چگونه بدست می آیند؟

چطور با کمک انحراف معیار و میانگین محدوده ی داده ها را بدست آوریم؟

جمع و ضرب داده ها در مقداری مشخص چه تغییری در واریانس و انحراف معیار ایجاد می کند؟

چه نکاتی را باید در مورد انحراف معیار و واریانس بدانم؟

ضریب تغییرات مجموعه ای از داده ها چگونه بدست می آید؟

دامنه میان چارکی یک شاخص پراکندگی

انحراف معیار میانگین چگونه بدست می آید؟

برآورد بازه ای یا بازه اطمینان چکونه بدست می آید؟

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

آخرین مطالب وبلاگ

دنباله های عددی

تابع خطی و معادله خط

تابع و دامنه و برد آن

تعیین علامت

عبارت و معادله گویا

معادله درجه دوم

معادله

عبارت جبری

قدرمطلق

دوره ها

دسترسی سریع

دسترسی سریع

مقالات مادر